Mathematics on Chen Kai Blog

微分几何（十二）：纤维丛、特征类与物理学

Tue, 23 Nov 2021 09:00:00 +0000

高中物理课讲电磁学时，老师写过一个让人记忆深刻的公式： $\vec{E} = -\nabla\phi - \partial_t\vec{A}$ ， $\vec{B} = \nabla\times\vec{A}$ 。电磁场由一个标量势 $\phi$ 和一个向量势 $\vec{A}$ 决定。但同一个老师当时说了一句奇怪的话：" $\phi$ 和 $\vec{A}$ 不是唯一的——你可以做规范变换 $\phi \to \phi - \partial_t\lambda$ , $\vec{A} \to \vec{A} + \nabla\lambda$ ，电磁场不变。这种自由叫’规范不变性’。"

微分几何（十）：黎曼几何 — 度量、联络和平行移动

Fri, 19 Nov 2021 09:00:00 +0000

前面四章把流形当一个纯粹的"光滑壳子"在用。可以谈连续、谈光滑、谈切空间、谈微分形式、谈积分——但有一件最朴素的事，到现在为止还做不了：

微分几何（五）：高斯-博内定理 —— 几何与拓扑的交汇点

Tue, 09 Nov 2021 09:00:00 +0000

小学数学课上每个人都学过：三角形内角和等于 180 度。这是欧几里得几何里的金科玉律。但如果你在地球仪上画一个三角形，比如顶点放在北极、赤道经度 0°、赤道经度 90°，三条边都沿着大圆——这是球面上的"直线"，叫测地线。三个角分别是多少？北极那个是 90°（两条经线在那里垂直相交），赤道两个角也都是 90°（经线和赤道垂直）。三个角加起来是 270°，比 180° 多了 90°。

泛函分析（十二）：泛函分析在行动 —— 偏微分方程和量子力学

Sat, 23 Oct 2021 09:00:00 +0000

工具箱兑现#

我开始写这个系列时给自己定了一条规矩：每一篇的抽象都必须最终回到一个具体的应用问题。十一篇下来这条线一直绷着——度量空间是为了讨论函数空间的距离，赋范空间为了引入算子范数，Hilbert 空间为了恢复几何，对偶为了 Hahn-Banach，弱拓扑为了变分紧性，三大定理为了刚性结果，紧算子为了谱分解，谱定理为了量子可观测量，半群为了演化方程，分布与 Sobolev 空间为了弱解。每一步都是因为某个具体问题需要它才被引入。这一篇就是兑现的时候。

泛函分析（十一）：分布与Sobolev空间 — 广义解

Thu, 21 Oct 2021 09:00:00 +0000

我想从一个坦白开始。多年来，我像一个本科生物理学家那样对待Dirac delta：它在原点以外处处为零，在原点处无穷大，并且其积分等于一。这种描述当然是数学上的无稽之谈。没有可测函数具有这些性质。然而，每本量子力学教科书都在第一页使用 $\delta$ ，每个信号处理课程都用 $\delta(t)$ 表示脉冲，每本PDE书都调用满足 $\Delta E = \delta$ 的Green函数 $$E$$ 。要么整个科学界在过去一个世纪里犯了一个根本性的错误，要么有一种方法可以使这个对象变得严格。显然是后者——而这种方法就是分布理论。

泛函分析（十）：算子半群 — 无限维空间中的演化方程

Tue, 19 Oct 2021 09:00:00 +0000

把 $$u' = Au$$ 搬到无穷维#

我第一次试图把热方程 $\partial_t u = \Delta u$ 写成“无穷维 ODE”时被一个具体障碍卡住：标量 ODE $$u' = au$$ 的解 $u(t) = e^{at}u_0$ 我从大学一年级就会写，矩阵 ODE $$u' = Au$$ 用矩阵指数 $e^{tA} = \sum_n (tA)^n/n!$ 也不难——那为什么 $u' = \Delta u$ 的解不能直接写成 $e^{t\Delta}u_0$ ？尝试展开 $\sum_n (t\Delta)^n / n!$ ，每一项都是更高阶的微分算子，作用在初始条件上得到无穷阶导数——级数对一般 $$L^2$$ 函数完全发散。矩阵指数那一招在无穷维直接失效。

泛函分析（八）：谱理论 —— 分解算子

Fri, 15 Oct 2021 09:00:00 +0000

当“特征值”不再是答案#

当我第一次看到“谱”这个词用于算子时，我以为它只是“特征值集合”的一个花哨同义词。对于矩阵和紧算子来说，这是正确的直觉，也是初等线性代数中想要的。问题在于，一旦算子不是紧的，这个直觉就错了。 $$L^2[0, 1]$$ 上的位置算子 $$(Mf)(x) = x f(x)$$ 没有特征值：任何特征函数都必须满足 $x f(x) = \lambda f(x)$ 几乎处处成立，这迫使 $$f$$ 在除了单点外的所有地方为零，因此 $$f$$ 在 $$L^2$$ 中为零。然而，该算子显然不可逆，因为 $\lambda I - M$ 是乘以 $x - \lambda$ 的运算，当 $\lambda \in [0, 1]$ 时，它不能有界可逆。

泛函分析（七）：紧算子——通往有限维的桥梁

Wed, 13 Oct 2021 09:00:00 +0000

我对紧算子的喜爱源于一次小小的尴尬。作为本科生时，我曾以为无限维线性代数处处都充满异国情调。其实不然。在算子理论中有一个广阔且研究透彻的领域，在那里，关于对称矩阵的一切知识——特征值、正交特征向量、谱分解——几乎原封不动地重现，只是特征值逐渐趋近于零，而不是一个有限列表。这个领域就是紧算子的世界，进入这个世界的唯一条件是：算子必须将单位球挤压成相对紧集。

泛函分析（六）：有界线性算子与三大定理

Mon, 11 Oct 2021 09:00:00 +0000

一个共同的引擎，三个不同的出口#

我第一次同时读 Banach-Steinhaus、开映射定理、闭图像定理时被同一种感觉击中：三条定理证明几乎相同。它们都把空间写成可数个闭集的并集、都引用 Baire 范畴定理、都从“某个闭集有非空内部”这一步把局部估计抬到全局估计。区别只在最后一步如何兑现——一致有界、开映射、闭图像——其余的脚手架是同一套。

泛函分析（五）：弱拓扑和弱*拓扑 —— 当范数收敛太强时

Sat, 09 Oct 2021 09:00:00 +0000

弱拓扑和弱-* 拓扑——当范数收敛太强时#

一道无解的最小化题让我意识到了什么#

我第一次试图证明“在 $$L^2$$ 上某个能量泛函有极小值点”时，自然地照搬了有限维做法：取一个最小化序列，从有界集里抽一个收敛子列，让它的极限作为答案。前两步走到一半就卡住了—— $$L^2$$ 闭单位球不紧，有界序列里抽不出范数收敛的子列。一个看似最朴素的存在性问题，因为“紧”消失而失败。

泛函分析（四）：对偶空间与 Hahn-Banach 定理 —— 线性泛函的驯服

Thu, 07 Oct 2021 09:00:00 +0000

为什么要换一种方式看向量#

我刚开始学线性代数时，总是从“向量是什么”这一面去想问题：把它写成坐标列、把它画成箭头、把它扔进矩阵里乘一下。直到读到 Riesz 关于积分方程的论文，我才意识到还有另一面——通过“怎样测它”来理解一个向量。给一个向量 $$x$$ ，我可以问“在某个方向上的投影是多少”“在某个测试函数上的积分是多少”“某个评价泛函给它的值是多少”，每一个回答都是一个标量。如果有足够多的方向、测试函数、评价泛函可以问，那么 $$x$$ 本身就被这些回答完全决定了。

泛函分析（三）：Hilbert 空间 —— 无限维空间中的几何

Tue, 05 Oct 2021 09:00:00 +0000

Hilbert 空间——无限维空间中的几何#

当“角度”消失之后#

上一篇 Banach 空间给了我一种长度感——每个向量有范数，每个序列可以谈收敛，每个连续函数族可以做绝对收敛级数。但有一件最直观的事 Banach 空间还做不到：判断两个向量是否“互相垂直”。在 $\mathbb{R}^3$ 里我闭着眼都知道 $$(1,0,0)$$ 和 $$(0,1,0)$$ 正交、 $$(1,1,0)$$ 和 $$(1,1,0)$$ 平行——这种判断默认依赖内积 $\langle x, y \rangle = \sum x_i y_i$ 。一旦只剩范数，不再有内积，正交、夹角、投影这一整套语言都失效了。

泛函分析（一）：度量空间 —— 距离、收敛与完备性

Fri, 01 Oct 2021 09:00:00 +0000

为什么我必须停止信任有限维直觉#

研究生分析学首先让我失去的是直观图像。在此之前，“距离”总是从原点到一个点的箭头长度——勾股定理，三个坐标，搞定。然后有人问我两个函数之间的距离是多少，箭头消失了。

抽象代数（十二）：代数在实际应用中的威力 —— 从密码学到编码理论及其他

Thu, 23 Sep 2021 09:00:00 +0000

我坐在书桌前，左手边是一个打乱的三阶魔方，右手边是一张印着黑白方块的餐厅点餐二维码。过去十一个月里，我把自己埋在群、环、域、模、表示和范畴的符号堆里。有时候我会突然停笔，盯着满纸的 $\sigma, \tau, \ker, \operatorname{im}$ 发呆：这些东西真的只是数学家自娱自乐的智力游戏吗？它们和我每天刷的手机、存的银行密码、甚至头顶的星空，到底有什么关系？

抽象代数（十一）：范畴论 — 数学结构的语言

Tue, 21 Sep 2021 09:00:00 +0000

结构的重复模式#

我至今还记得自己第一次整理抽象代数笔记时的错觉。那天晚上，我把群同态基本定理、环同态基本定理、模同态基本定理并排写在一张大白纸上。写着写着，我停下了笔。这三条定理的陈述几乎一模一样：先找一个结构保持映射（同态），再看它的核（kernel），然后把原结构除以核，最后得到一个同构于像的商结构。证明步骤也像是同一个模子刻出来的：验证良定性、验证单射、验证满射、验证运算保持。唯一的区别只是我把“群乘法”换成了“环加法与乘法”，或者把“模的标量乘法”换了进去。

抽象代数（十）：表示论 — 群在向量空间上的作用

Sun, 19 Sep 2021 09:00:00 +0000

我第一次盯着一张群乘法表发呆时，脑子里只有一个念头：这玩意儿到底怎么算？抽象群（abstract group）的定义确实漂亮，几个公理就把对称性打包得严严实实。可一旦你真正想动手，比如算一个由生成元和关系定义的群元素，或者想从那张密密麻麻的乘法表里抠出一点数值不变量，抽象定义就像一堵光滑的墙，连个抓手都没有。我试过硬推，结果只是在符号迷宫里打转。

抽象代数（九）：模——向量空间的推广

Fri, 17 Sep 2021 09:00:00 +0000

我第一次接触线性代数时，总觉得它干净得有点“不真实”。每个子空间都能找到补空间，每个有限维向量空间都乖乖地拥有一组基，而且不管你怎么挑基，基向量的个数永远一样。那时候我以为代数就该这么顺滑，直到我试着把标量从实数换成整数。结果呢？整个理论瞬间“卡壳”了。你不能随便除以 2，方程 $$2x = a$$ 在整数里经常无解，基的概念直接崩塌。我当时盯着草稿纸发愣：难道离开域（field），线性结构就彻底散架了吗？

抽象代数（八）：Galois 理论 —— 域与群之间的桥梁

Wed, 15 Sep 2021 09:00:00 +0000

1832 年 5 月 29 日的深夜，巴黎的一间阁楼里，20 岁的 Évariste Galois 知道自己活不过明天。决斗的约定已经写下，对手是当时法国枪法最好的军官之一。在蜡烛快要燃尽的时候，他没有写遗书，而是抓起一叠草稿纸，疯狂地把自己脑子里关于多项式根的所有想法往外倒。他在页边匆匆写下“我没有时间了”，然后把这叠纸寄给了朋友。这些手稿在抽屉里躺了十几年才被数学界真正读懂，但它们彻底改写了代数的走向。

抽象代数（七）：域扩张 — 构建更大的数系

Mon, 13 Sep 2021 09:00:00 +0000

我高中第一次碰到 $$x^2 + 1 = 0$$ 时，老师在黑板上画了个大大的叉，说“实数范围内无解”。过了两周，同一个老师又走上讲台，轻描淡写地引入一个符号 $$i$$ ，宣布 $$i^2 = -1$$ ，然后所有方程突然就都有解了。我当时坐在底下心里直犯嘀咕：这算不算作弊？缺什么就硬造什么，数学难道可以这样凭空变魔术？

抽象代数（六）：多项式环 —— 因子分解与唯一分解

Sat, 11 Sep 2021 09:00:00 +0000

我记得刚上大学那会儿，盯着黑板上的 $$x^2 + 1$$ 发呆。高中老师信誓旦旦地说这玩意儿“不能再分了”，可眼前的教授随手写下 $$(x+i)(x-i)$$ ，转头又补了一句：“如果在模 $$5$$ 的整数里，它等于 $$(x+2)(x+3)$$ 。”我当时的脑子直接打结：同一个多项式，怎么换个地盘就换了一副面孔？它到底是个固定的对象，还是随环境变形的变色龙？

抽象代数（五）：环与理想 —— 当乘法进入画面

Thu, 09 Sep 2021 09:00:00 +0000

我第一次真正卡壳，是在盯着整数集合 $\mathbb{Z}$ 发呆的时候。那时候我刚学完群论，满脑子都是对称、旋转和置换。我试着把 $\mathbb{Z}$ 当成一个加法群（additive group）来看： $(\mathbb{Z}, +)$ 确实漂亮，它是一个无限循环群，生成元是 $$1$$ 或 $$-1$$ ，结构干净得像一块玻璃。可是，当我想聊点“数论”的东西，比如素数、最大公约数、或者为什么 $$6$$ 只能拆成 $2 \times 3$ 时，加法群突然就哑火了。加法只能告诉我 $$2+2+2=6$$ ，它根本看不见“乘法”这回事。我忽然意识到，单靠一个运算，就像只用一把螺丝刀去修整台发动机：你能拧开外壳，但碰不到核心的齿轮咬合。