微分几何（二）：曲面与第一基本形式 —— 内在测量

我小时候第一次看世界地图，被一个细节困扰了很久：格陵兰岛在地图上和非洲大陆差不多大，但地球仪上的格陵兰只是非洲的一个小角落。这是为什么？后来知道答案是"墨卡托投影把高纬度的面积放大了"，但这个解释只是把问题换了个名字，没有解释为什么没法画出一张完美的平面地图。

读完这一章，那个童年的疑问就有了精确答案：球面和平面的第一基本形式不一样，所以不存在保距离的展开方式。同样这一章也会告诉我，为什么把一张纸卷成圆柱形不需要拉伸，因为圆柱和平面的第一基本形式确实一样。圆柱卷起来看着弯，但圆柱上的蚂蚁如果只能感知周围的距离和角度，它没法知道自己是在平面上还是在卷起来的纸上。这是个看似平凡、实际深刻的事实，整个微分几何学的"内蕴 vs 外蕴"二元区分就是从这里开始的。

更具体一点：上一章我们处理了一维对象（曲线）。曲线本身没什么内蕴几何，任何两条等长的曲线，蚂蚁站在上面感觉都一样，全部"弯曲"信息都来自曲线如何坐在 $\mathbb{R}^3$ 里。从二维开始这件事变了。曲面有了自己的几何：曲面上的距离、角度、面积，是只属于曲面本身、与"是否嵌入在 $\mathbb{R}^3$ 里"无关的数据。这一章我们就盯着这部分内蕴信息，把它打包成一个 $2\times 2$ 对称正定矩阵，第一基本形式 $\mathrm{I} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}$ 。

打个比方：可以把曲面想成一块橡皮膜。如果只允许"弯曲不拉伸"的形变（这种形变叫等距），$\mathrm{I}$ 不变；如果允许任意揉搓（拉伸压缩）才能完成形变，那两个曲面的 $\mathrm{I}$ 通常就不一样了。圆柱和平面只差一个"卷"的动作，所以等距；球和平面差一个"压扁"的动作（必须拉伸），所以不等距。$\mathrm{I}$ 区分这两类的能力，就是这一章的全部威力。

什么是曲面？#

直观定义，“三维空间中的二维物体”，对于直觉来说是好的，但对于证明来说毫无用处。精确的定义必须说明"光滑"的含义，如何给曲面坐标，以及如何处理坐标失效的地方。

为什么需要这么多前置工作？举一个反面例子。考虑 $\mathbb{R}^3$ 中的一个圆锥的"尖端"，表面在那里折起来形成一个角点。这个对象是连续的，是二维的，处处都"看起来像曲面"，除了顶点，那里没有合理的切平面。直觉上我们会说"它是个有奇点的曲面"，但要把"奇点"和"光滑曲面"区分开，就必须提前说清楚我们的"曲面"到底允许什么、不允许什么。下面三个条件就是干这个的：第一条排除自交，第二条排除尖点和折角，第三条排除"坐标退化"（比如把整个一条线参数化映成一个点的退化情况）。所有这些条件加起来，就保证了我们能在曲面上光滑地做微积分，这正是后面所有理论得以展开的前提。

如果集合 $S\subseteq\mathbb{R}^3$ 对于每一点 $p\in S$ 存在一个开邻域 $V\subseteq\mathbb{R}^3$ 包含 $p$ ，一个开集 $U\subseteq\mathbb{R}^2$ ，以及一个光滑映射 $\mathbf{x}: U\to V\cap S$ 满足：

1. $\mathbf{x}$ 是同胚（连续且有连续逆映射）；
2. $\mathbf{x}$ 是光滑的（每个分量都是 $C^\infty$ ）；
3. 对于每一个 $q\in U$ ，微分 $d\mathbf{x}_q: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ 是单射。

映射 $\mathbf{x}$ 被称为坐标图、参数化或补丁。第三个条件，单射微分，是曲线正则性的类比。具体来说，它说两个偏导数 $\mathbf{x}_u = \partial\mathbf{x}/\partial u$ 和 $\mathbf{x}_v = \partial\mathbf{x}/\partial v$ 是线性无关的。它们在每一点都张成一个二维平面。

逐块来看，曲面看起来像一块平滑变形的 $\mathbb{R}^2$ 。曲面上的微积分只是带有一层额外簿记（坐标图）的 $\mathbb{R}^2$ 上的微积分。$\mathbb{R}^2$ 一侧是积分和偏导数所在的地方；曲面则是几何所在的地方。

常见例子#

$S = \{(u, v, f(u,v)) : (u,v)\in\mathbb{R}^2\}$ 其中 $f$ 是光滑的。坐标图 $\mathbf{x}(u,v) = (u, v, f(u,v))$ 显然满足所有三个条件。每个曲面局部上都是一个图像（经过坐标旋转），但全局情况通常需要多个坐标图。

$S^2_r = \{(x,y,z) : x^2+y^2+z^2 = r^2\}$ 。没有单个坐标图能覆盖它（这是一个我们在第六章会讨论的拓扑障碍）。一个常见的补丁：球坐标 $\mathbf{x}(\theta,\varphi) = (r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi)$ 对于 $(\theta,\varphi)\in (0, 2\pi)\times(0,\pi)$ 。这覆盖了除了一条子午线以外的所有部分；你需要第二个补丁（旋转过的）来覆盖其余部分。

$\mathbf{x}(u,v) = (\cos u, \sin u, v)$ 对于 $(u,v)\in (0,2\pi)\times\mathbb{R}$ 。除了单一直线外，覆盖了所有部分。

$\mathbf{x}(u,v) = ((R+r\cos v)\cos u, (R+r\cos v)\sin u, r\sin v)$ 对于 $(u,v)\in (0,2\pi)\times(0,2\pi)$ 。覆盖了大部分环面；你仍然需要另一个补丁。

这些参数化的技术充分性作为适当的“坐标图”，我将在文章后面以球面为例进行显式检查。目前的重点是要在头脑中有具体的例子。

切平面#

切平面是从一维到二维的关键升级。曲线在每点只有一个切方向（一根线）；曲面在每点有一整个平面的切方向。这个差别让曲面几何变得难得多，曲线上’测地线’是平凡的（就是曲线本身），曲面上’测地线’则是真正的极值问题，不同方向的弯曲程度可以不一样。换言之，二维让方向成为一个真正的维度，而不再是一个标量。这也是为什么后面要花大力气讨论形状算子的特征值（主曲率）：它们对应于’最大弯曲方向’和’最小弯曲方向’，把切平面里所有方向的弯曲程度浓缩成两个数。

给定一个围绕点 $p = \mathbf{x}(q)$ 的坐标图 $\mathbf{x}: U\to S$ ，偏导数 $\mathbf{x}_u(q), \mathbf{x}_v(q)\in\mathbb{R}^3$ 是线性无关的（由正则性保证）并张成 $\mathbb{R}^3$ 中的一个二维子空间。这个子空间就是切平面 $T_pS$ 。

需要验证的一些事情（我会顺便做）：$T_pS$ 只依赖于 $p$ ，而不依赖于坐标图的选择。如果 $\tilde{\mathbf{x}}: \tilde U\to S$ 是 $p$ 附近的另一个坐标图，则坐标变换 $\phi = \mathbf{x}^{-1}\circ\tilde{\mathbf{x}}: \tilde U\to U$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中开子集之间的微分同胚，并且链式法则给出 $\tilde{\mathbf{x}}_u = \phi_u^1 \mathbf{x}_u + \phi_u^2 \mathbf{x}_v$ 等等。两组 $\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\}$ 和 $\{\tilde{\mathbf{x}}_u, \tilde{\mathbf{x}}_v\}$ 通过一个可逆线性映射（$\phi$ 的雅可比矩阵）相关联，因此它们张成同一个平面。

几何上，$T_pS$ 是 $S$ 在 $p$ 处的“最佳线性近似”。如果你放大曲面在 $p$ 附近的部分，它看起来越来越像它的切平面。

张成。 符号的选择（即选择 $\pm\mathbf{n}$ 中的哪一个）是一种定向。对于连通可定向曲面（如球面），只有两种选择：向外和向内。对于不可定向曲面（如莫比乌斯带或克莱因瓶），不存在全局连续的选择，将在讨论拓扑时使用这一事实。

示例：球面上的切平面#

设 $\mathbf{x}(\theta,\varphi) = (\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$ 在单位球面上。则

• $\mathbf{x}_\theta = (-\sin\varphi\sin\theta, \sin\varphi\cos\theta, 0)$ ，
• $\mathbf{x}_\varphi = (\cos\varphi\cos\theta, \cos\varphi\sin\theta, -\sin\varphi)$ 。

在赤道 $\varphi = \pi/2$ ，$\theta = 0$ ：$\mathbf{x} = (1, 0, 0)$ ，$\mathbf{x}_\theta = (0, 1, 0)$ ，$\mathbf{x}_\varphi = (0, 0, -1)$ 。所以 $T_pS = $ $(0,1,0)$ 和 $(0,0,-1)$ 的张成，这就是 $yz$ 平面。点 $p = (1,0,0)$ 是球面的“东”点，切平面正是通过该点的 $yz$ 平面。单位法向量是 $\mathbf{x}_\theta\times\mathbf{x}_\varphi/|\cdot| = (-1, 0, 0)$ ，即向内的径向方向（如果我们选择另一种定向则是 $(1,0,0)$ ）。令人放心的是：球面上某点的法向量是径向方向。我们不需要任何这些工具就知道这一点，但确认公式没有撒谎是好的。

第一基本形式#

这是 $T_pS$ 的基 $\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\}$ 的格拉姆矩阵。对称且正定（因为 $\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v$ 是线性无关的），行列式 $EG - F^2 > 0$ 。

直觉上，$E, F, G$ 这三个数告诉我们什么？$E = |\mathbf{x}_u|^2$ 是"沿 $u$ 方向走一步走多远的平方"；$G = |\mathbf{x}_v|^2$ 是沿 $v$ 方向同样的事；$F = \mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v$ 是这两个方向的"协方差"，如果 $F = 0$ ，两个方向正交；$F$ 越大，两个方向越接近平行（也就是坐标网越斜）。所以 $\mathrm{I}$ 在每一点上记录了"这套坐标在这里被怎么扭过"。如果我换一套坐标，三个数会变，但它们合在一起编码的几何信息（曲面上的距离）不变，这种"分量变、整体不变"的现象，就是张量这个概念的雏形。

换句话说，使用 $\mathrm{I}$ 作为切向量在坐标图中的度量。长度、角度和面积的操作都由此得出。

第一基本形式是曲面的内在度量：它是生活在曲面上的蚂蚁用来测量东西的工具。关键在于，两个不同的曲面（在 $\mathbb{R}^3$ 中位置不同）可以有相同的第一基本形式，这意味着蚂蚁无法区分它们。接下来看到圆柱和平面就是这样，尽管它们从外部看起来非常不同，但在内在意义上都是平坦的。

曲面上曲线的长度#

注意：这个公式只使用了 $E, F, G$ 和曲线的 $(u(t), v(t))$ 。它不再以其他方式引用到 $\mathbb{R}^3$ 中的嵌入。曲面上的蚂蚁，给定度量和曲线，可以像我们一样精确地计算长度。

曲线之间的角度#

内积使用 $\mathrm{I}$ 计算。再次强调：只需要 $E, F, G$ 和切向量的坐标图坐标。角度是内在的。

一个有用的推论：坐标图是正交的（坐标曲线 $u = $ 常数和 $v = $ 常数在直角处相交）当且仅当 $F\equiv 0$ 。球坐标、圆柱坐标和标准环面参数化都是正交的。一些高级参数化不是。

面积#

再次强调，内在的：曲面上的蚂蚁使用 $E, F, G$ 来计算面积。

示例：计算 $E, F, G$ #

我现在将仔细计算三个标准曲面并写下第一基本形式。一次仔细的计算可以巩固整个装置。

平面#

单位矩阵。平面具有欧几里得度量，正如预期的那样。

圆柱#

这是一个绝对关键的观察。就内在度量而言，圆柱和平面是无法区分的。生活在圆柱上的蚂蚁，只配备了度量 $\mathrm{I}$ ，无法判断它是在平展的纸上还是卷起来的纸上。这就是圆柱内在平坦的确切意义。当然，从外部看它在 $\mathbb{R}^3$ 中弯曲，第二基本形式（下一章）将检测到这一点。第一基本形式不会。

这种等价有一个名称：如果两个曲面具有相同的第一基本形式（在某些坐标图中），则它们是等距的。平面和圆柱是等距的。平面和球面不是（将会看到）。平面和鞍面也不是。等等。

单位球面#

$\mathbf{x}(\theta,\varphi) = (\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$ 。

• $\mathbf{x}_\theta = (-\sin\varphi\sin\theta, \sin\varphi\cos\theta, 0)$ ，所以 $E = \sin^2\varphi$ 。
• $\mathbf{x}_\varphi = (\cos\varphi\cos\theta, \cos\varphi\sin\theta, -\sin\varphi)$ ，所以 $G = \cos^2\varphi+\sin^2\varphi = 1$ 。
• $\mathbf{x}_\theta\cdot\mathbf{x}_\varphi = 0$ ，所以 $F = 0$ 。

这不是单位矩阵；它依赖于 $\varphi$ 。因此球面不是等距于平面的。（这是制图师挫败感的严格版本：你不能制作地球的完美忠实的平面地图。）

赤道长度为 $2\pi$ ，正如预期。

纬度 $\varphi_0$ 的小圆：$u = t$ ，$v = \varphi_0$ 。长度 $= \int_0^{2\pi}\sin\varphi_0\,dt = 2\pi\sin\varphi_0$ 。离赤道越远的小圆越小。再次，完全符合预期，但现在纯粹从 $\mathrm{I}$ 推导出来。

经典的 $4\pi r^2$ 公式（其中 $r = 1$ ）。：这是通过对 $|\mathbf{x}_\theta\times\mathbf{x}_\varphi|$ 积分得到的，这依赖于坐标图，但结果是内在的。如果我们改变参数化，被积函数会改变，但积分结果相同。

环面#

$\mathbf{x}(u,v) = ((R+r\cos v)\cos u, (R+r\cos v)\sin u, r\sin v)$ 对于 $u, v\in[0, 2\pi)$ 。

• $\mathbf{x}_u = (-(R+r\cos v)\sin u, (R+r\cos v)\cos u, 0)$ ，所以 $E = (R+r\cos v)^2$ 。
• $\mathbf{x}_v = (-r\sin v\cos u, -r\sin v\sin u, r\cos v)$ ，所以 $G = r^2$ 。
• $\mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v = 0$ ，所以 $F = 0$ 。

一个令人满意的封闭形式。赤道（外缘，$v = 0$ ）的长度为 $2\pi(R+r)$ ；内缘（$v = \pi$ ）的长度为 $2\pi(R-r)$ 。“管周长”（固定 $u$ ，变化 $v$ 的曲线）的长度为 $2\pi r$ ，小圆。

坐标变换#

关联了 $T_pS$ 的两个基。

第一基本形式按张量方式变换：$\tilde{\mathrm{I}} = J^T \mathrm{I} J$ 。行列式：$\det\tilde{\mathrm{I}} = (\det J)^2 \det\mathrm{I}$ ，因此 $\sqrt{\tilde E\tilde G - \tilde F^2} = |\det J|\sqrt{EG - F^2}$ ，这正是面积积分的变量替换公式。两个坐标图在长度、角度和面积上一致。

这种变换规则是后来广义相对论中“张量变换定律”的原型。第一基本形式是一个 $(0,2)$ 张量；它在任何两个坐标图中的分量由过渡映射的雅可比矩阵相关联。

一旦我们确信公式在坐标图变换下正确变换，可以采取更抽象的观点：存在一个单一的对象，度量，在任何坐标图中实现为 $E, F, G$ ，而坐标图的选择只是一个方便的坐标。这是我们在第六章及以后需要的张量微积分的种子。

等距和等距曲面#

等距 vs 全等的区别值得重复强调，因为初学者常混淆。全等：两个曲面在 $\mathbb{R}^3$ 里通过刚体运动（平移加旋转）能重合。等距：两个曲面通过一个保距离的双射对应起来，但不要求能在 $\mathbb{R}^3$ 里通过刚体运动重合。圆柱和平面是等距的（都展开成同一个矩形），但显然不全等（一个弯一个平）。所有全等的曲面都等距，但反之不成立。这一节重点讲的是等距，因为蚂蚁感受到的几何就是等距等价类。

等价地：在匹配的坐标图 $\mathbf{x}_1$ 在 $S_1$ 和 $\mathbf{x}_2 = f\circ\mathbf{x}_1$ 在 $S_2$ 中，$E_1 = E_2$ ，$F_1 = F_2$ ，$G_1 = G_2$ 。

从一条带 $(0, 2\pi)\times\mathbb{R}\subset \mathbb{R}^2$ 到圆柱的映射 $f(u, v) = (\cos u, \sin u, v)$ 是等距的。沿一条垂直线切开圆柱并展平：结果是一个矩形。度量被保留，即使嵌入到 $\mathbb{R}^3$ 中发生了巨大变化。

类似地，圆锥（切开）展平为一个扇形。圆锥在顶点之外也是内在平坦的。

不存在等距。我们最终会通过高斯的绝妙定理证明这一点：球面具有正高斯曲率，平面具有零高斯曲率，而高斯曲率是内在的。制图学注定失败。

还有一种值得命名的地图类型。

一个映射 $f$ 是保角的，如果它保持角度（但不一定保持长度）。等价地，$f^*\mathrm{I}_2 = \lambda(p)\,\mathrm{I}_1$ 对于某个正光滑函数 $\lambda$ 。

球面的墨卡托投影是保角的（角度被保持，对导航有用），但不是等距的（长度被扭曲，正如任何人所知道的那样，墨卡托地图上的格陵兰岛看起来异常大）。立体投影也是保角的。

等温坐标#

一个著名的定理（Korn-Lichtenstein，1914-16）说每个光滑曲面局部上都允许等温坐标。这是非平凡的，并使用椭圆 PDE 理论。这个定理是从微分几何通往复分析的门户：具有等温坐标的曲面继承了一个复结构，黎曼曲面理论从此开始发展。

对于球面，从北极点的立体投影给出了等温坐标：在通过立体投影逆映射将 $(u, v)$ 映射到球面上的坐标图中，度量是 $4(1+u^2+v^2)^{-2}\,I_2$ 。共形因子 $\lambda = 4/(1+u^2+v^2)^2$ 。很多复分析实际上发生在带有这个度量的球面上。

计算实例：野外计算长度#

一个实用的例子。假设我想计算单位球面上曲线 $\theta = t$ ，$\varphi = t$ 在 $t\in[0, \pi/4]$ 上的长度。我不会考虑嵌入，我只会使用 $\mathrm{I}$ 。

$E = \sin^2\varphi$ ，$F = 0$ ，$G = 1$ ，其中 $u = \theta$ ，$v = \varphi$ ，所以 $u' = v' = 1$ 。

这个积分不是初等的，它实际上是一个第二类完全椭圆积分。数值上，$\sin^2 t \in [0, 0.5]$ 和 $\sqrt{1+\sin^2 t}\in[1, \sqrt{1.5}\approx 1.2247]$ ，被积函数在 1 和 1.225 之间，所以答案在 $\pi/4 \approx 0.785$ 和 $\pi/4 \cdot 1.225 \approx 0.962$ 之间。更仔细的计算给出 $L \approx 0.870$ 。重点不是精确数字；而是计算过程中没有涉及 $\mathbb{R}^3$ ，只是由 $E$ 和 $G$ 构建的被积函数。

这就是“度量足够”的具体含义。球面上的蚂蚁可以计算其对角行走的长度；环境空间从未进入。

限制和反例#

一些警示。

一个常见的学生错误：将球面的 $\mathbf{x}(\theta,\varphi)$ 写在 $[0,2\pi]\times[0,\pi]$ （闭区间）上。然后映射将 $\theta$ 的两个端点标识在一起，不是单射；它不是同胚。需要开区间，并接受没有单个坐标图能覆盖球面。逐块拼接的图像是强制性的。

参数化曲面 $\mathbf{x}: U\to\mathbb{R}^3$ 可以具有自交的图像，同时仍满足正则性条件（偏导数线性无关）。图像是浸入曲面，但不是我们意义上的正则曲面。正则曲面 = 嵌入。

这是 $\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v$ 线性无关的结果。对于任意对称矩阵，这不是自动的：$\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ 会有 $EG - F^2 = 0$ ，这违反了正则性。每当教科书中的曲面退化（$EG - F^2\to 0$ ）时，坐标图有问题。

在广义相对论中，时空的度量不是正定的，它具有签名 $(-,+,+,+)$ 。第一基本形式是正定的（“黎曼”）；时空度量是“洛伦兹”。公式看起来相似，但几何本质上不同（例如，存在非零“零向量”使得 $\mathbf{w}\cdot\mathbf{w} = 0$ ）。接下来留在正定世界中进行这一系列讨论。

我们所做的都可以推广：$\mathbb{R}^n$ 中的 $k$ 维子流形具有第一基本形式（现在是一个 $k\times k$ 矩阵），切空间，等距等。只有簿记增长。内在/外在的划分持续存在。

深入实例与常见误区#

前六节抽象地介绍了第一基本形式。这一节我来算几个硬骨头例子，指出新手容易踩的坑，并展示这些对象在纯数学之外的实际用途。

具体数值算例：悬链面#

先求偏导数： $X_u = (1, \sinh u \cos v, \sinh u \sin v)$ ，$X_v = (0, -\cosh u \sin v, \cosh u \cos v)$ 。 第一基本形式的系数如下： $E = X_u \cdot X_u = 1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u$ 。 $F = X_u \cdot X_v = -\sinh u \cosh u \sin v \cos v + \sinh u \cosh u \sin v \cos v = 0$ 。 $G = X_v \cdot X_v = \cosh^2 u \sin^2 v + \cosh^2 u \cos^2 v = \cosh^2 u$ 。

于是第一基本形式写作 $ds^2 = \cosh^2 u\, (du^2 + dv^2)$ ，它和平面度量是共形的。如果我令 $\tilde{u} = \int \cosh u\, du = \sinh u$ ，这并不能给出到平面的等距映射（因为面积元 $\cosh^2 u\, du\, dv$ 会出错），但共形结构确实是平的。再看螺旋面 $Y(u, v) = (u \cos v, u \sin v, v)$ ，它的系数是 $E = 1$ ，$F = 0$ ，$G = 1 + u^2$ ，所以 $ds^2 = du^2 + (1+u^2) dv^2$ 。在螺旋面上做代换 $u = \sinh\tilde{u}$ ，得到 $du = \cosh\tilde{u}\, d\tilde{u}$ 且 $1 + u^2 = \cosh^2\tilde{u}$ ，于是 $ds^2 = \cosh^2\tilde{u}\, (d\tilde{u}^2 + dv^2)$ 。完全一致。悬链面和螺旋面在局部是等距的，尽管一个卷成了管状，另一个无限展开。这是经典曲面论里最著名的非平凡等距映射。它们之间还存在一个漂亮的单参数曲面族（Bonnet 形变），能在保持度量不变的前提下，把两者平滑地过渡连接起来。

反例：看起来一样却不等距的曲面#

平面和去掉顶点的圆锥在局部是等距的——你可以把一张纸卷成圆锥。但圆锥在整体上并不等距于平面，因为绕着顶点走一圈会引入平行移动的缺陷。具体来说：沿一条母线把圆锥剪开并摊平，你会得到平面上的一个扇形，其顶角为 $2\pi \sin\alpha$ ，其中 $\alpha$ 是圆锥的半顶角。这个角度小于 $2\pi$ 。所以圆锥上绕顶点一整圈的闭合回路，对应到平面上就是一条没有回到起点的开路径。第一基本形式在局部完全一样，但整体拓扑破坏了等距关系。这里有个教训：$E$ 、$F$ 、$G$ 能控制所有局部度量问题，但等距类的划分还得看局部形式看不到的整体数据。

第二个算例：球面上的长度与角度#

我用球坐标参数化单位球面：$X(\phi, \theta) = (\sin\phi \cos\theta, \sin\phi \sin\theta, \cos\phi)$ ，$\phi \in (0, \pi)$ ，$\theta \in [0, 2\pi)$ 。算出 $X_\phi = (\cos\phi \cos\theta, \cos\phi \sin\theta, -\sin\phi)$ 和 $X_\theta = (-\sin\phi \sin\theta, \sin\phi \cos\theta, 0)$ 。于是 $E = 1$ ，$F = 0$ ，$G = \sin^2\phi$ 。第一基本形式为 $ds^2 = d\phi^2 + \sin^2\phi\, d\theta^2$ 。

具体算一段长度：从北极 $\phi = 0$ 沿经线 $\theta = 0$ 走到赤道 $\phi = \pi/2$ ，大圆弧长是 $\int_0^{\pi/2} \sqrt{1}\, d\phi = \pi/2$ ，这完全符合几何直觉（周长为 $2\pi$ 的大圆的四分之一）。再看固定纬度 $\phi = \pi/3$ 上，从 $\theta = 0$ 到 $\theta = \pi$ 的水平弧长，它是 $\int_0^\pi \sqrt{\sin^2(\pi/3)}\, d\theta = \pi \cdot \sin(\pi/3) = \pi\sqrt{3}/2 \approx 2.72$ 。注意这个值小于同端点间的大圆距离 $\pi$ ，因为水平弧不是测地线。第一基本形式让我们完全依靠内蕴数据就能看清这一点。

再算一个角度：在点 $(\phi, \theta) = (\pi/4, 0)$ 处，取两个切向量 $v = X_\phi$ 和 $w = X_\phi + X_\theta$ 。夹角满足 $\cos\angle(v, w) = \frac{\langle v, w \rangle}{\sqrt{\langle v, v\rangle \langle w, w\rangle}} = \frac{1}{\sqrt{1 \cdot (1 + \sin^2(\pi/4))}} = \frac{1}{\sqrt{3/2}} = \sqrt{2/3}$ 。所以 $\angle \approx 35.3°$ 。度量张量直接搞定这一切，我根本不需要去算 $v$ 和 $w$ 在 $\mathbb{R}^3$ 里的坐标。

常见误区：把第一基本形式和嵌入混为一谈#

第一基本形式是内蕴的。它只关心曲面上的长度和角度怎么算，不关心曲面在 $\mathbb{R}^3$ 里怎么摆放。新手常犯的错误是把它写成坐标下的 $2 \times 2$ 矩阵，然后忘了这个矩阵其实是切平面上的二次型，而不是外蕴的摆设。混淆会带来两个麻烦：

（1）你换参数化时，矩阵 $\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}$ 就会跟着变。按链式法则，它按 $J^T M J$ 变换，其中 $J$ 是坐标变换的雅可比矩阵。特征值根本不是不变量。行列式 $EG - F^2$ 会缩放，但 $\sqrt{EG - F^2}\, du\, dv$ 是不变的——它就是面积形式。

（2）两个曲面可以拥有相同的第一基本形式（也就是等距），但在 $\mathbb{R}^3$ 里长得完全不一样。平面和圆柱就是教科书级的例子：圆柱在自然参数化下 $E = G = 1$ ，$F = 0$ ，和平面一模一样，尽管圆柱卷起来了而平面没有。第一基本形式对外蕴曲率视而不见。下一篇文章要讲的第二基本形式，正是为了捕捉第一形式看不到的东西而存在的。

第二个反例：伪球面邂逅双曲平面#

Beltrami 伪球面是由曳物线旋转生成的曲面，它具有常负高斯曲率 $K = -1$ 。在合适的坐标 $(u, v)$ 下，它的第一基本形式是 $ds^2 = du^2 + e^{-2u} dv^2$ 。差一个坐标变换，这就是双曲几何上半平面模型的一块。所以伪球面在局部就是双曲的。但在整体上，伪球面有一条奇异边界（$u \to -\infty$ 处的尖脊），它只能实现双曲几何的一条带状区域，而不是整个平面。Hilbert 在 1901 年证明，$\mathbb{R}^3$ 中不存在光滑完备的曲面能实现完整的双曲平面：双曲几何在内蕴上完美自洽，但它无法在三维空间里整体嵌入并保持常曲率。换句话说，第一基本形式能够描述那些 $\mathbb{R}^3$ 中没有任何曲面能在整体上实现的几何。这是“内蕴几何”与“三维空间中的曲面”这两个概念之间出现的第一道裂痕。这道裂痕直接催生了从第六篇文章开始的抽象流形理论。

它在物理、计算与工程中的用武之地#

在 制图学 里，如何把地球（度量张量为 $a^2(d\phi^2 + \cos^2\phi\, d\lambda^2)$ 的球面）画到平面上，本质上就是在寻找两个第一基本形式之间的等距映射。这种映射不存在：球面高斯曲率非零，平面高斯曲率为零，而等距映射必须保持高斯曲率不变（Theorema Egregium，第四篇文章）。所以每一种地图投影必然扭曲某些东西。选择扭曲什么——是保角（Mercator 投影）、保面积（Lambert 等积投影）还是保距离（方位等距投影）——其实就是决定保留第一基本形式的哪些特征。没有任何投影能同时保住 $E$ 、$F$ 、$G$ 。

在 广义相对论 中，时空度量是第一基本形式向四维和洛伦兹号差的推广。分量 $g_{\mu\nu}$ 扮演的角色和 $E$ 、$F$ 、$G$ 完全一样。计算测地线、长度和体积用的也是同一套公式，只是多了一个指标。Schwarzschild 度规、FRW 度规和 Kerr 度规，无非是第一基本形式类比物的具体选取。物理学家算它们用的技巧（Killing 向量场、等距映射、共形因子）都是经典曲面论的直接推广。

在 计算机图形学与 CAD 里，参数化面片的第一基本形式是你计算纹理坐标扭曲、测地线距离以及检测劣质参数化的工具。$F$ 偏离零太多的面片是“倾斜”的，贴图会被拉伸；$E$ 和 $G$ 相差好几个数量级的面片会导致三角剖分不稳定。Houdini 和 Blender 这类软件通过“UV 扭曲检查器”间接暴露了第一基本形式的信息。

带着更尖锐的问题回顾“下一步”#

下一篇文章将引入第二基本形式，它是曲线曲率概念在曲面上的类比。为了做好准备，我请大家带着三个问题往下读：

（1）曲线的曲率是一个数；曲面的曲率至少应该是两个数（主曲率），而且它们应该是某个东西的特征值。那个东西是哪两个空间之间的线性映射？ （2）第一基本形式内蕴地度量长度。第二基本形式度量曲面弯进周围空间的程度。为什么必须两者结合才能重建曲面？为什么它们之间的关系必须满足相容性方程（Gauss-Codazzi）？ （3）在曲线上，$\kappa$ 和 $\tau$ 是独立的——给定任意两个函数，你就能确定一条曲线。在曲面上，$E$ 、$F$ 、$G$ 和第二基本形式的系数 $L$ 、$M$ 、$N$ 并不独立。约束条件是什么？它从哪里来？

你现在已经掌握了曲面几何的内蕴部分：第一基本形式、长度、面积、等距。下一篇文章补上外蕴的另一半。读的时候请不断问自己：“曲面的 $T'$ 、$N'$ 、$B'$ 类比物是什么？它怎么拆成内蕴和外蕴两部分？”这正是 Gauss-Weingarten-Codazzi 分解。一旦你能把这些公式读成 Frenet-Serret 公式的曲面版本，第二基本形式就不再神秘了。

最后一个算例：伪球面与常负曲率#

Beltrami 伪球面的参数化为 $X(u, v) = (\sin u \cos v, \sin u \sin v, \cos u + \ln \tan(u/2))$ 对于 $u \in (0, \pi/2)$ ，$v \in [0, 2\pi)$ 。算出第一基本形式的系数为 $E = \cot^2 u$ ，$F = 0$ ，$G = \sin^2 u$ 。面积元是 $dA = \cot u \cdot \sin u\, du\, dv = \cos u\, du\, dv$ 。总面积：$\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} \cos u\, du\, dv = 2\pi$ 。所以伪球面的总面积恰好是 $2\pi$ ，尽管它在 $u \to 0$ 处延伸到了尖脊无穷远。

为了检验内蕴平坦性与负曲率，我换到自然坐标 $w = \ln \tan(u/2)$ （此时 $u \to 0$ 对应 $w \to -\infty$ ）。度量变成 $ds^2 = dw^2 + e^{2w} dv^2$ ——这就是 $(w, v)$ 平面上带有双曲平面度量的半平面。因此伪球面在局部等距于高斯曲率 $K = -1$ 的双曲平面的一条带状区域。验证一下：总内蕴曲率积分 $\int K\, dA = -1 \cdot 2\pi = -2\pi$ 。如果套用闭曲面的 Gauss-Bonnet 定理，结果应该是 $2\pi \chi$ （但伪球面不是闭曲面，它在无穷远处有尖脊边界，所以定理不能直接套用）。Hilbert 在 1901 年已经证明，$\mathbb{R}^3$ 中没有任何曲面能实现完备的双曲平面。伪球面只是最佳近似，而且它依然是不完备的。

附录：更多三个示例#

为了让读者在结束前有更多的数值练习，这里再提供三个第一基本形式的计算示例，风格各异。

旋转曲面#

计算：

• $\mathbf{x}_u = (-\rho\sin u, \rho\cos u, 0)$ ，所以 $E = \rho^2$ 。
• $\mathbf{x}_v = (\rho'\cos u, \rho'\sin u, z')$ ，所以 $G = (\rho')^2 + (z')^2$ 。
• $\mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v = -\rho\rho'\sin u\cos u + \rho\rho'\cos u\sin u + 0 = 0$ ，所以 $F = 0$ 。

这总是一个正交坐标图（$F = 0$ ）：经线（$u = $ 常数）和纬线（$v = $ 常数）在直角处相交。这件事和我们对地球仪的视觉印象一致，经纬线确实是垂直的。

面元。$\sqrt{EG - F^2} = \rho\sqrt{(\rho')^2 + (z')^2}$ ，所以面积元素是 $dA = \rho\,ds\,du$ ，其中 $ds = \sqrt{(\rho')^2 + (z')^2}\,dv$ 是轮廓曲线的弧长元素。这就是 Pappus 定理的微分版本：把弧长元素 $ds$ 旋转一圈扫出一个半径 $\rho$ 的圆环带，面积是 $2\pi\rho\,ds$ ；除以 $2\pi$ 得到角度方向上的密度 $\rho\,ds$ 。

特殊情况。取 $\rho(v) = R + r\cos v$ ，$z(v) = r\sin v$ 得到环面；取 $\rho(v) = \sin v$ ，$z(v) = \cos v$ 得到单位球（这就是上面我们已经算过的 $\mathrm{I}_{\text{sphere}} = \mathrm{diag}(\sin^2 v, 1)$ ）。取 $\rho(v) = \cosh v$ ，$z(v) = v$ 得到悬链面，这是一个最小曲面，等会儿我们会再见到。

螺旋面#

把直线 $z = bu$ 沿着 $z$ 轴提升的同时让它扫过半径方向 $v$ ，就得到一个像螺旋楼梯那样的曲面。计算：

• $\mathbf{x}_u = (-v\sin u, v\cos u, b)$ ，所以 $E = v^2 + b^2$ 。
• $\mathbf{x}_v = (\cos u, \sin u, 0)$ ，所以 $G = 1$ 。
• $\mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v = -v\sin u\cos u + v\cos u\sin u + 0 = 0$ ，所以 $F = 0$ 。

值得注意的是：螺旋面和悬链面是局部等距的（同一个等距曲线族里的两端）。这个事实不能从外观上看出来，一个是平的螺旋楼梯，另一个是腰鼓形的极小曲面，但它们的第一基本形式可以用一个变量替换互相变成对方。这也是我反复强调"$E, F, G$ 是内蕴量"的原因：它们看不见曲面在空间里的姿态，只能感受到曲面被一只小蚂蚁踩过时的距离。

双曲抛物面（鞍面）#

这是 Pringles 薯片那种鞍形。计算：

• $\mathbf{x}_u = (1, 0, v)$ ，$E = 1 + v^2$ 。
• $\mathbf{x}_v = (0, 1, u)$ ，$G = 1 + u^2$ 。
• $F = \mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v = uv$ 。

注意 $F$ 不为零：$u, v$ 网格在原点之外都不正交。这一点和上面两个例子形成对照，曲面的弯法决定了一个看似自然的坐标网格是否仍然是正交的。$\det(\mathrm{I}) = (1+u^2)(1+v^2) - u^2v^2 = 1 + u^2 + v^2$ ，所以面元 $dA = \sqrt{1 + u^2 + v^2}\,du\,dv$ 。在原点处面元退化为 $du\,dv$ ，远离原点处面元增长，这个增长恰好量化了"曲面被拉伸了多少"。

附录：特殊曲面的分类体系#

有些曲面配得上专属名称，因为它们的第一基本形式带有特殊的结构。记住这些名字，算是入行的基本功。我平时也常这么用。

平坦曲面 高斯曲率 $K = 0$ 的曲面（高斯曲率的具体定义我稍后给出）。等价地说，它和平面的一块区域等距。典型例子有平面、圆柱面、圆锥面（除去顶点），以及任意空间曲线的切线可展曲面。只有平坦曲面能靠一张纸卷出来，而且纸面完全不会发生拉伸。

旋转曲面 由一条母线绕轴旋转生成。它天然自带正交坐标网（经线与纬线）。球面、抛物面、双曲面、圆锥面、圆柱面、环面都属于这一类。

直纹曲面 整张曲面由一族直线拼成。圆柱面、圆锥面、单叶双曲面、螺旋面、Möbius 带、切线可展曲面都是直纹曲面。有的直纹曲面是平坦的，有的则不是。

极小曲面 平均曲率 $H = 0$ 的曲面（我会在下一章给出定义）。局部来看，它就是肥皂膜的样子。悬链面、螺旋面、Scherk 曲面、Costa 曲面（1980 年代的一项著名发现）都是典型代表。只要做微小的扰动，极小曲面总是让面积取到最小值。

常曲率曲面 满足 $K \equiv $ const。按符号分三种情况：球面（$K = 1$ ）、平面（$K = 0$ ）、伪球面或 Beltrami 喇叭面（$K = -1$ ，双曲情形）。双曲情形没法作为完备曲面嵌入到 $\mathbb{R}^3$ 里（Hilbert 定理，1901 年），但局部嵌入完全可行。而且，常负曲率的抽象内蕴几何，正是非欧几何的标准模型。

共形平坦曲面 它允许取等温坐标卡，使得 $\mathrm{I} = \lambda\,I_2$ 。任何曲面在局部都是共形平坦的（Korn-Lichtenstein 定理）。放到全局来看，共形平坦性就是另一回事了。

局部欧氏曲面 这个词和“平坦”基本同义。不过后面我会点出一个细微差别：有些平坦曲面（比如平坦环面）在局部虽然和平面等距，但放到全局来看，它们并不和平面的一块区域等距。

平坦、旋转、直纹、极小、常曲率、共形平坦，这六个形容词给我们提供了一套讨论曲面的词汇表。后面大部分内容我都会直接用上它们。

附录：为什么叫“第一”基本形式？#

编号本身就在暗示，后面还会跟着一个“第二”。这个名字是历史留下的。Gauss 在他 1827 年的奠基性论文 Disquisitiones generales circa superficies curvas 里，把曲面的数据整理成了两个二次型。第一个二次型负责测量内蕴距离（也就是我们的 $\mathrm{I}$ ，老文献里常写成 $ds^2$ ）。第二个二次型负责描述曲面在周围空间里的弯曲程度（也就是我们的 $\mathrm{II}$ ，下一章就会登场）。这两个形式合在一起，就能把曲面在刚体运动的意义下唯一确定下来。这和曲线论里的基本定理如出一辙。

不过，随便拿一对 $2\times 2$ 的对称形式 $(\mathrm{I}, \mathrm{II})$ ，它们未必能拼出一张真实的曲面。任何真正能实现的形式对，都必须满足可积条件（也就是 Gauss 方程 和 Codazzi 方程）。反过来讲，只要给出一对满足这些条件的形式，就存在唯一的一张曲面（刚体运动意义下）把它们实现出来。我们迟早会走到那一步，但眼下得先把第二基本形式准备好。这正是下一章的主题。

顺便聊聊术语的演变。Gauss 当年其实并没有直接写出 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$ 的矩阵。他把微分 $E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$ 和 $L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2$ 一项一项地摊开写。矩阵视角是后来才出现的。这要归功于两方面：一方面是 Riemann 在 1854 年 Habilitation 就职演讲里引入的高维度量张量，另一方面是后来张量分析的兴起（Ricci-Curbastro 和 Levi-Civita，十九世纪末）。等到 1915 年 Einstein 需要微分几何来搭建广义相对论时，矩阵和张量的语言早就成了通用语。我们今天沿用这套语言，是因为它能干净利落地推广到高维。你只需要记住，读老文献的时候，$E, F, G$ 和 $L, M, N$ 才是最初的记号。

说一条计算上的经验法则。碰到一张陌生的曲面，最稳妥的路径几乎总是这样：

1. 明确写出参数化 $\mathbf{x}(u,v)$ 。
2. 算出偏导数 $\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v$ 。
3. 从内积里直接读出 $E, F, G$ 。
4. 从叉乘里读出单位法向量。
5. 用这些输入量去算剩下的东西（长度、面积、夹角、第二形式、曲率）。

老老实实走完这五步，是干活的微分几何学家和门外汉的分水岭。教科书里那些“任意坐标下的高斯曲率公式”或者“测地线方程”，看着确实吓人。但落到具体例子上，它们无非就是把 $E, F, G$ 代进去，然后按部就班地算。接下来的章节里，我们会大量练习这种机械计算。

最后谈谈概念框架。第一基本形式，其实就是微分几何对一种直觉的数学刻画：在二维世界里，我们怎么量距离和量角度。这篇文章里剩下的内容——等距变换、等温坐标、参数变换、经典曲面上的度量——全都是这条直觉的推演和细化。你只要把这一幅画面留在脑子里（度量就是切平面上的内积，只不过换成了参数坐标下的表达），本章剩下的工作就只是整理账目。整理账目确实躲不掉，因为微分几何天生就离不开坐标。但底层思想很简单，Gauss 是第一个把它看透彻的人。地基打好了，我们就能问下一个问题：曲面在空间里是怎么弯曲的？这需要另一套公式，它们马上就会出场。

取 $\varphi_0 = \pi/2$ （半球），算出来是 $2\pi$ ，正好是 $4\pi$ 的一半。取 $\varphi_0 = \pi/3$ （极角 $60^\circ$ 的“极冠”），算出来是 $2\pi(1 - 0.5) = \pi$ ，正好占总面积的四分之一。取 $\varphi_0 = \pi$ （整个球面），算出来是 $2\pi(1 - (-1)) = 4\pi$ 。内部逻辑完全自洽。

我特别喜欢这个计算的一点是，它从头到尾都没有提到 $\mathbb{R}^3$ 的嵌入，只用了度量本身。一只在球面上爬行的蚂蚁，只要沿着经线走并做积分，也能算出同样的面积。这就是本章的核心信息：内蕴几何已经足够用来做测量。下一章会展示内蕴几何 不够 做什么：它看不出曲面在空间里是怎么弯的。

再举一个小例子，把内蕴和外蕴的区别再钉牢一次。还是看那个圆柱面，它的度量是 $\mathrm{I} = I_2$ 。从内部看，它和平面一模一样：经线互相平行，纬线互相平行，距离和角度完全符合 Euclid 的规则。从外部看，它却是弯的：经线是竖直的直线，纬线却是半径为 $1$ 的圆。两种视角给出了不同的几何。内蕴的那一面由 $\mathrm{I}$ 抓住；外蕴的那一面，得靠我们还没定义的量来描述。下一章引入第二基本形式之后，我们就能精确说出圆柱面和平面差在哪：$\mathrm{I}$ 相同，$\mathrm{II}$ 不同。平面的第二形式是零；圆柱面的第二形式不是零。于是我们就能在不碰度量的前提下，把弯曲检测出来。这就是下一章的全部概念内核，我们即将搭建的工具会让它变得严丝合缝。

喘口气吧。这一章的公式确实不少。好消息是：第三章会站在本章的肩膀上，但绝不会推翻本章。第一基本形式是永久资产，后面的每一篇文章都会用到它。坏消息是：第三、四章会在 $\mathrm{I}$ 之上叠加第二基本形式，账目还会继续增加。在微分几何里活下来的秘诀，就是一边耐心地做代数运算，一边死死盯住概念图景（内蕴 = $\mathrm{I}$ ，外蕴 = $\mathrm{II}$ ，Gauss-Codazzi 负责粘合）。继续前进。

下一步#

到这里我们手里的全部信息是 $E, F, G$ 。一个二阶对称正定矩阵，写在每一个坐标图上，按链式法则在坐标图变换下协变。它能告诉我们的是：曲面上的距离、角度和面积。够用了吗？看你想做什么。

如果只想在曲面上跑测地线、计算面积、铺地砖，够用了。整个内蕴几何，包括下一卷我们会展开的 Riemann 几何，都建立在 $\mathrm{I}$ 这一个对象之上。第一基本形式是 Riemann 度量在 2D 的原型。

但如果想知道曲面怎么弯，它在 $\mathbb{R}^3$ 里看起来是凸的、凹的、还是马鞍状的，$\mathrm{I}$ 一个字也不会说。圆柱和平面有完全相同的 $\mathrm{I}$ ，但它们在空间里显然不一样。这是外在几何的领域，下一章的主角。

下一章我会引入 Gauss 映射 $N: M \to S^2$ （把每个点映到它的单位法向量），从它的微分中读出形状算子 $S = -dN$ 。形状算子的两个特征值就是主曲率 $\kappa_1, \kappa_2$ ；它们的乘积是 Gauss 曲率 $K$ ，平均是平均曲率 $H$ 。$K$ 和 $H$ 把"曲面长什么样"压缩成两个标量函数，足够区分球面、平面、马鞍和圆柱。

然后到第四章，会有一个让人惊讶的反转：Gauss 的 Theorema Egregium 说 $K$ ，一个表面上从外在数据 $S$ 算出来的量，其实只依赖 $E, F, G$ 及其导数。换句话说，那只小蚂蚁虽然看不到曲面在空间里的姿态，却能算出 Gauss 曲率。这是经典曲面理论的高潮，也是 Riemann 把整个故事推广到任意维度的起点。