微分几何（二）：曲面与第一基本形式 —— 内在测量

我小时候第一次看世界地图，被一个细节困扰了很久：格陵兰岛在地图上和非洲大陆差不多大，但地球仪上的格陵兰只是非洲的一个小角落。这是为什么？后来知道答案是"墨卡托投影把高纬度的面积放大了"——但这个解释只是把问题换了个名字，没有解释为什么没法画出一张完美的平面地图。

读完这一章，那个童年的疑问就有了精确答案：球面和平面的第一基本形式不一样，所以不存在保距离的展开方式。同样这一章也会告诉我，为什么把一张纸卷成圆柱形不需要拉伸——因为圆柱和平面的第一基本形式确实一样。圆柱卷起来看着弯，但圆柱上的蚂蚁如果只能感知周围的距离和角度，它没法知道自己是在平面上还是在卷起来的纸上。这是个看似平凡、实际深刻的事实，整个微分几何学的"内蕴 vs 外蕴"二元区分就是从这里开始的。

更具体一点：上一章我们处理了一维对象（曲线）。曲线本身没什么内蕴几何——任何两条等长的曲线，蚂蚁站在上面感觉都一样，全部"弯曲"信息都来自曲线如何坐在 $\mathbb{R}^3$ 里。从二维开始这件事变了。曲面有了自己的几何：曲面上的距离、角度、面积，是只属于曲面本身、与"是否嵌入在 $\mathbb{R}^3$ 里"无关的数据。这一章我们就盯着这部分内蕴信息，把它打包成一个 $2\times 2$ 对称正定矩阵——第一基本形式 $\mathrm{I} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}$ 。

打个比方：可以把曲面想成一块橡皮膜。如果只允许"弯曲不拉伸"的形变（这种形变叫等距），$\mathrm{I}$ 不变；如果允许任意揉搓（拉伸压缩）才能完成形变，那两个曲面的 $\mathrm{I}$ 通常就不一样了。圆柱和平面只差一个"卷"的动作，所以等距；球和平面差一个"压扁"的动作（必须拉伸），所以不等距。$\mathrm{I}$ 区分这两类的能力，就是这一章的全部威力。

什么是曲面？#

直观定义——“三维空间中的二维物体”——对于直觉来说是好的，但对于证明来说毫无用处。精确的定义必须说明"光滑"的含义，如何给曲面坐标，以及如何处理坐标失效的地方。

为什么需要这么多前置工作？举一个反面例子。考虑 $\mathbb{R}^3$ 中的一个圆锥的"尖端"——表面在那里折起来形成一个角点。这个对象是连续的，是二维的，处处都"看起来像曲面"——除了顶点，那里没有合理的切平面。直觉上我们会说"它是个有奇点的曲面"，但要把"奇点"和"光滑曲面"区分开，就必须提前说清楚我们的"曲面"到底允许什么、不允许什么。下面三个条件就是干这个的：第一条排除自交，第二条排除尖点和折角，第三条排除"坐标退化"（比如把整个一条线参数化映成一个点的退化情况）。所有这些条件加起来，就保证了我们能在曲面上光滑地做微积分——这正是后面所有理论得以展开的前提。

如果集合 $S\subseteq\mathbb{R}^3$ 对于每一点 $p\in S$ 存在一个开邻域 $V\subseteq\mathbb{R}^3$ 包含 $p$ ，一个开集 $U\subseteq\mathbb{R}^2$ ，以及一个光滑映射 $\mathbf{x}: U\to V\cap S$ 满足：

1. $\mathbf{x}$ 是同胚（连续且有连续逆映射）；
2. $\mathbf{x}$ 是光滑的（每个分量都是 $C^\infty$ ）；
3. 对于每一个 $q\in U$ ，微分 $d\mathbf{x}_q: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ 是单射。

映射 $\mathbf{x}$ 被称为坐标图、参数化或补丁。第三个条件——单射微分——是曲线正则性的类比。具体来说，它说两个偏导数 $\mathbf{x}_u = \partial\mathbf{x}/\partial u$ 和 $\mathbf{x}_v = \partial\mathbf{x}/\partial v$ 是线性无关的。它们在每一点都张成一个二维平面。

逐块来看，曲面看起来像一块平滑变形的 $\mathbb{R}^2$ 。曲面上的微积分只是带有一层额外簿记（坐标图）的 $\mathbb{R}^2$ 上的微积分。$\mathbb{R}^2$ 一侧是积分和偏导数所在的地方；曲面则是几何所在的地方。

常见例子#

$S = \{(u, v, f(u,v)) : (u,v)\in\mathbb{R}^2\}$ 其中 $f$ 是光滑的。坐标图 $\mathbf{x}(u,v) = (u, v, f(u,v))$ 显然满足所有三个条件。每个曲面局部上都是一个图像（经过坐标旋转），但全局情况通常需要多个坐标图。

$S^2_r = \{(x,y,z) : x^2+y^2+z^2 = r^2\}$ 。没有单个坐标图能覆盖它（这是一个我们在第六章会讨论的拓扑障碍）。一个常见的补丁：球坐标 $\mathbf{x}(\theta,\varphi) = (r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi)$ 对于 $(\theta,\varphi)\in (0, 2\pi)\times(0,\pi)$ 。这覆盖了除了一条子午线以外的所有部分；你需要第二个补丁（旋转过的）来覆盖其余部分。

$\mathbf{x}(u,v) = (\cos u, \sin u, v)$ 对于 $(u,v)\in (0,2\pi)\times\mathbb{R}$ 。除了单一直线外，覆盖了所有部分。

$\mathbf{x}(u,v) = ((R+r\cos v)\cos u, (R+r\cos v)\sin u, r\sin v)$ 对于 $(u,v)\in (0,2\pi)\times(0,2\pi)$ 。覆盖了大部分环面；你仍然需要另一个补丁。

这些参数化的技术充分性作为适当的“坐标图”，我将在文章后面以球面为例进行显式检查。目前的重点是要在头脑中有具体的例子。

切平面#

切平面是从一维到二维的关键升级。曲线在每点只有一个切方向（一根线）；曲面在每点有一整个平面的切方向。这个差别让曲面几何变得难得多——曲线上’测地线’是平凡的（就是曲线本身），曲面上’测地线’则是真正的极值问题，不同方向的弯曲程度可以不一样。换言之，二维让方向成为一个真正的维度，而不再是一个标量。这也是为什么后面要花大力气讨论形状算子的特征值（主曲率）：它们对应于’最大弯曲方向’和’最小弯曲方向’，把切平面里所有方向的弯曲程度浓缩成两个数。

给定一个围绕点 $p = \mathbf{x}(q)$ 的坐标图 $\mathbf{x}: U\to S$ ，偏导数 $\mathbf{x}_u(q), \mathbf{x}_v(q)\in\mathbb{R}^3$ 是线性无关的（由正则性保证）并张成 $\mathbb{R}^3$ 中的一个二维子空间。这个子空间就是切平面 $T_pS$ 。

需要验证的一些事情（我会顺便做）：$T_pS$ 只依赖于 $p$ ，而不依赖于坐标图的选择。如果 $\tilde{\mathbf{x}}: \tilde U\to S$ 是 $p$ 附近的另一个坐标图，则坐标变换 $\phi = \mathbf{x}^{-1}\circ\tilde{\mathbf{x}}: \tilde U\to U$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中开子集之间的微分同胚，并且链式法则给出 $\tilde{\mathbf{x}}_u = \phi_u^1 \mathbf{x}_u + \phi_u^2 \mathbf{x}_v$ 等等。两组 $\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\}$ 和 $\{\tilde{\mathbf{x}}_u, \tilde{\mathbf{x}}_v\}$ 通过一个可逆线性映射（$\phi$ 的雅可比矩阵）相关联，因此它们张成同一个平面。

几何上，$T_pS$ 是 $S$ 在 $p$ 处的“最佳线性近似”。如果你放大曲面在 $p$ 附近的部分，它看起来越来越像它的切平面。

张成。 符号的选择（即选择 $\pm\mathbf{n}$ 中的哪一个）是一种定向。对于连通可定向曲面（如球面），只有两种选择：向外和向内。对于不可定向曲面（如莫比乌斯带或克莱因瓶），不存在全局连续的选择——将在讨论拓扑时使用这一事实。

示例：球面上的切平面#

设 $\mathbf{x}(\theta,\varphi) = (\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$ 在单位球面上。则

• $\mathbf{x}_\theta = (-\sin\varphi\sin\theta, \sin\varphi\cos\theta, 0)$ ，
• $\mathbf{x}_\varphi = (\cos\varphi\cos\theta, \cos\varphi\sin\theta, -\sin\varphi)$ 。

在赤道 $\varphi = \pi/2$ ，$\theta = 0$ ：$\mathbf{x} = (1, 0, 0)$ ，$\mathbf{x}_\theta = (0, 1, 0)$ ，$\mathbf{x}_\varphi = (0, 0, -1)$ 。所以 $T_pS = $ $(0,1,0)$ 和 $(0,0,-1)$ 的张成，这就是 $yz$ 平面。点 $p = (1,0,0)$ 是球面的“东”点，切平面正是通过该点的 $yz$ 平面。单位法向量是 $\mathbf{x}_\theta\times\mathbf{x}_\varphi/|\cdot| = (-1, 0, 0)$ ，即向内的径向方向（如果我们选择另一种定向则是 $(1,0,0)$ ）。令人放心的是：球面上某点的法向量是径向方向。我们不需要任何这些工具就知道这一点，但确认公式没有撒谎是好的。

第一基本形式#

这是 $T_pS$ 的基 $\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\}$ 的格拉姆矩阵。对称且正定（因为 $\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v$ 是线性无关的），行列式 $EG - F^2 > 0$ 。

直觉上，$E, F, G$ 这三个数告诉我们什么？$E = |\mathbf{x}_u|^2$ 是"沿 $u$ 方向走一步走多远的平方"；$G = |\mathbf{x}_v|^2$ 是沿 $v$ 方向同样的事；$F = \mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v$ 是这两个方向的"协方差"——如果 $F = 0$ ，两个方向正交；$F$ 越大，两个方向越接近平行（也就是坐标网越斜）。所以 $\mathrm{I}$ 在每一点上记录了"这套坐标在这里被怎么扭过"。如果我换一套坐标，三个数会变，但它们合在一起编码的几何信息（曲面上的距离）不变——这种"分量变、整体不变"的现象，就是张量这个概念的雏形。

换句话说，使用 $\mathrm{I}$ 作为切向量在坐标图中的度量。长度、角度和面积的操作都由此得出。

第一基本形式是曲面的内在度量：它是生活在曲面上的蚂蚁用来测量东西的工具。关键在于，两个不同的曲面（在 $\mathbb{R}^3$ 中位置不同）可以有相同的第一基本形式——这意味着蚂蚁无法区分它们。接下来看到圆柱和平面就是这样，尽管它们从外部看起来非常不同，但在内在意义上都是平坦的。

曲面上曲线的长度#

注意：这个公式只使用了 $E, F, G$ 和曲线的 $(u(t), v(t))$ 。它不再以其他方式引用到 $\mathbb{R}^3$ 中的嵌入。曲面上的蚂蚁，给定度量和曲线，可以像我们一样精确地计算长度。

曲线之间的角度#

内积使用 $\mathrm{I}$ 计算。再次强调：只需要 $E, F, G$ 和切向量的坐标图坐标。角度是内在的。

一个有用的推论：坐标图是正交的（坐标曲线 $u = $ 常数和 $v = $ 常数在直角处相交）当且仅当 $F\equiv 0$ 。球坐标、圆柱坐标和标准环面参数化都是正交的。一些高级参数化不是。

面积#

再次强调，内在的：曲面上的蚂蚁使用 $E, F, G$ 来计算面积。

示例：计算 $E, F, G$ #

我现在将仔细计算三个标准曲面并写下第一基本形式。一次仔细的计算可以巩固整个装置。

平面#

单位矩阵。平面具有欧几里得度量，正如预期的那样。

圆柱#

这是一个绝对关键的观察。就内在度量而言，圆柱和平面是无法区分的。生活在圆柱上的蚂蚁，只配备了度量 $\mathrm{I}$ ，无法判断它是在平展的纸上还是卷起来的纸上。这就是圆柱内在平坦的确切意义。当然，从外部看它在 $\mathbb{R}^3$ 中弯曲——第二基本形式（下一章）将检测到这一点。第一基本形式不会。

这种等价有一个名称：如果两个曲面具有相同的第一基本形式（在某些坐标图中），则它们是等距的。平面和圆柱是等距的。平面和球面不是（将会看到）。平面和鞍面也不是。等等。

单位球面#

$\mathbf{x}(\theta,\varphi) = (\sin\varphi\cos\theta, \sin\varphi\sin\theta, \cos\varphi)$ 。

• $\mathbf{x}_\theta = (-\sin\varphi\sin\theta, \sin\varphi\cos\theta, 0)$ ，所以 $E = \sin^2\varphi$ 。
• $\mathbf{x}_\varphi = (\cos\varphi\cos\theta, \cos\varphi\sin\theta, -\sin\varphi)$ ，所以 $G = \cos^2\varphi+\sin^2\varphi = 1$ 。
• $\mathbf{x}_\theta\cdot\mathbf{x}_\varphi = 0$ ，所以 $F = 0$ 。

这不是单位矩阵；它依赖于 $\varphi$ 。因此球面不是等距于平面的。（这是制图师挫败感的严格版本：你不能制作地球的完美忠实的平面地图。）

赤道长度为 $2\pi$ ，正如预期。

纬度 $\varphi_0$ 的小圆：$u = t$ ，$v = \varphi_0$ 。长度 $= \int_0^{2\pi}\sin\varphi_0\,dt = 2\pi\sin\varphi_0$ 。离赤道越远的小圆越小。再次，完全符合预期，但现在纯粹从 $\mathrm{I}$ 推导出来。

经典的 $4\pi r^2$ 公式（其中 $r = 1$ ）。：这是通过对 $|\mathbf{x}_\theta\times\mathbf{x}_\varphi|$ 积分得到的，这依赖于坐标图，但结果是内在的。如果我们改变参数化，被积函数会改变，但积分结果相同。

环面#

$\mathbf{x}(u,v) = ((R+r\cos v)\cos u, (R+r\cos v)\sin u, r\sin v)$ 对于 $u, v\in[0, 2\pi)$ 。

• $\mathbf{x}_u = (-(R+r\cos v)\sin u, (R+r\cos v)\cos u, 0)$ ，所以 $E = (R+r\cos v)^2$ 。
• $\mathbf{x}_v = (-r\sin v\cos u, -r\sin v\sin u, r\cos v)$ ，所以 $G = r^2$ 。
• $\mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v = 0$ ，所以 $F = 0$ 。

一个令人满意的封闭形式。赤道（外缘，$v = 0$ ）的长度为 $2\pi(R+r)$ ；内缘（$v = \pi$ ）的长度为 $2\pi(R-r)$ 。“管周长”（固定 $u$ ，变化 $v$ 的曲线）的长度为 $2\pi r$ ——小圆。

坐标变换#

关联了 $T_pS$ 的两个基。

第一基本形式按张量方式变换：$\tilde{\mathrm{I}} = J^T \mathrm{I} J$ 。行列式：$\det\tilde{\mathrm{I}} = (\det J)^2 \det\mathrm{I}$ ，因此 $\sqrt{\tilde E\tilde G - \tilde F^2} = |\det J|\sqrt{EG - F^2}$ ，这正是面积积分的变量替换公式。两个坐标图在长度、角度和面积上一致。

这种变换规则是后来广义相对论中“张量变换定律”的原型。第一基本形式是一个 $(0,2)$ 张量；它在任何两个坐标图中的分量由过渡映射的雅可比矩阵相关联。

一旦我们确信公式在坐标图变换下正确变换，可以采取更抽象的观点：存在一个单一的对象——度量——在任何坐标图中实现为 $E, F, G$ ，而坐标图的选择只是一个方便的坐标。这是我们在第六章及以后需要的张量微积分的种子。

等距和等距曲面#

等距 vs 全等的区别值得重复强调，因为初学者常混淆。全等：两个曲面在 $\mathbb{R}^3$ 里通过刚体运动（平移加旋转）能重合。等距：两个曲面通过一个保距离的双射对应起来，但不要求能在 $\mathbb{R}^3$ 里通过刚体运动重合。圆柱和平面是等距的（都展开成同一个矩形），但显然不全等（一个弯一个平）。所有全等的曲面都等距，但反之不成立。这一节重点讲的是等距——因为蚂蚁感受到的几何就是等距等价类。

等价地：在匹配的坐标图 $\mathbf{x}_1$ 在 $S_1$ 和 $\mathbf{x}_2 = f\circ\mathbf{x}_1$ 在 $S_2$ 中，$E_1 = E_2$ ，$F_1 = F_2$ ，$G_1 = G_2$ 。

从一条带 $(0, 2\pi)\times\mathbb{R}\subset \mathbb{R}^2$ 到圆柱的映射 $f(u, v) = (\cos u, \sin u, v)$ 是等距的。沿一条垂直线切开圆柱并展平：结果是一个矩形。度量被保留，即使嵌入到 $\mathbb{R}^3$ 中发生了巨大变化。

类似地，圆锥（切开）展平为一个扇形。圆锥在顶点之外也是内在平坦的。

不存在等距。我们最终会通过高斯的绝妙定理证明这一点：球面具有正高斯曲率，平面具有零高斯曲率，而高斯曲率是内在的。制图学注定失败。

还有一种值得命名的地图类型。

一个映射 $f$ 是保角的，如果它保持角度（但不一定保持长度）。等价地，$f^*\mathrm{I}_2 = \lambda(p)\,\mathrm{I}_1$ 对于某个正光滑函数 $\lambda$ 。

球面的墨卡托投影是保角的（角度被保持——对导航有用），但不是等距的（长度被扭曲，正如任何人所知道的那样，墨卡托地图上的格陵兰岛看起来异常大）。立体投影也是保角的。

等温坐标#

一个著名的定理（Korn-Lichtenstein，1914-16）说每个光滑曲面局部上都允许等温坐标。这是非平凡的，并使用椭圆 PDE 理论。这个定理是从微分几何通往复分析的门户：具有等温坐标的曲面继承了一个复结构，黎曼曲面理论从此开始发展。

对于球面，从北极点的立体投影给出了等温坐标：在通过立体投影逆映射将 $(u, v)$ 映射到球面上的坐标图中，度量是 $4(1+u^2+v^2)^{-2}\,I_2$ 。共形因子 $\lambda = 4/(1+u^2+v^2)^2$ 。很多复分析实际上发生在带有这个度量的球面上。

计算实例：野外计算长度#

一个实用的例子。假设我想计算单位球面上曲线 $\theta = t$ ，$\varphi = t$ 在 $t\in[0, \pi/4]$ 上的长度。我不会考虑嵌入——我只会使用 $\mathrm{I}$ 。

$E = \sin^2\varphi$ ，$F = 0$ ，$G = 1$ ，其中 $u = \theta$ ，$v = \varphi$ ，所以 $u' = v' = 1$ 。

这个积分不是初等的——它实际上是一个第二类完全椭圆积分。数值上，$\sin^2 t \in [0, 0.5]$ 和 $\sqrt{1+\sin^2 t}\in[1, \sqrt{1.5}\approx 1.2247]$ ，被积函数在 1 和 1.225 之间，所以答案在 $\pi/4 \approx 0.785$ 和 $\pi/4 \cdot 1.225 \approx 0.962$ 之间。更仔细的计算给出 $L \approx 0.870$ 。重点不是精确数字；而是计算过程中没有涉及 $\mathbb{R}^3$ ，只是由 $E$ 和 $G$ 构建的被积函数。

这就是“度量足够”的具体含义。球面上的蚂蚁可以计算其对角行走的长度；环境空间从未进入。

限制和反例#

一些警示。

一个常见的学生错误：将球面的 $\mathbf{x}(\theta,\varphi)$ 写在 $[0,2\pi]\times[0,\pi]$ （闭区间）上。然后映射将 $\theta$ 的两个端点标识在一起，不是单射；它不是同胚。需要开区间，并接受没有单个坐标图能覆盖球面。逐块拼接的图像是强制性的。

参数化曲面 $\mathbf{x}: U\to\mathbb{R}^3$ 可以具有自交的图像，同时仍满足正则性条件（偏导数线性无关）。图像是浸入曲面，但不是我们意义上的正则曲面。正则曲面 = 嵌入。

这是 $\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v$ 线性无关的结果。对于任意对称矩阵，这不是自动的：$\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ 会有 $EG - F^2 = 0$ ，这违反了正则性。每当教科书中的曲面退化（$EG - F^2\to 0$ ）时，坐标图有问题。

在广义相对论中，时空的度量不是正定的——它具有签名 $(-,+,+,+)$ 。第一基本形式是正定的（“黎曼”）；时空度量是“洛伦兹”。公式看起来相似，但几何本质上不同（例如，存在非零“零向量”使得 $\mathbf{w}\cdot\mathbf{w} = 0$ ）。接下来留在正定世界中进行这一系列讨论。

我们所做的都可以推广：$\mathbb{R}^n$ 中的 $k$ 维子流形具有第一基本形式（现在是一个 $k\times k$ 矩阵），切空间，等距等。只有簿记增长。内在/外在的划分持续存在。

下一步#

现在已构建了内在故事。第一基本形式是一个 $2\times 2$ 对称正定矩阵值函数，编码曲面的度量。从中可以计算：

• 曲线的长度（积分 $\sqrt{E(u')^2 + 2F u'v' + G(v')^2}$ ）；
• 曲线之间的角度（使用 $\mathrm{I}$ 作为内积）；
• 区域的面积（$\sqrt{EG - F^2}\,du\,dv$ ）；
• 等距等价（在匹配的坐标图中相同的 $E, F, G$ ）。

我们还不能计算的是弯曲——曲面在 $\mathbb{R}^3$ 中如何弯曲。这需要第二基本形式，一个不同的 $2\times 2$ 矩阵，用于测量 $\mathbf{x}$ 在法向方向上的二阶导数行为。形状算子、主曲率、高斯曲率和平均曲率都存在于那个世界中。

下一章将介绍 Gauss 映射（将曲面上的每一点映射到其单位法向量的单位球面），并从其微分中提取形状算子。从形状算子中，将读取主曲率（特征值），并从这两个数中定义高斯曲率和平均曲率。这是曲面的外在几何。

之后，在第四章，将迎来经典曲面理论的高潮：高斯的绝妙定理，它指出虽然高斯曲率是通过第二基本形式定义的，但实际上可以从第一基本形式单独计算。度量知道高斯曲率。这是内在和外在故事之间的桥梁，也是后续微分几何的概念起点。

现在你应该能够舒适地计算任何显式参数化的 $E, F, G$ ，并使用它们来计算长度、角度和面积。这是将在接下来的几章中使用的工具包。

附录：更多三个示例#

为了让读者在结束前有更多的数值练习，这里再提供三个第一基本形式的计算示例，风格各异。

旋转曲面#

计算：

• $\mathbf{x}_u = (-\rho\sin u, \rho\cos u, 0)$ ，所以 $E = \rho^2$ 。
• $\mathbf{x}_v = (\rho'\cos u, \rho'\sin u, z')$ ，所以 $G = (\rho')^2 + (z')^2$ 。
• $\mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v = -\rho\rho'\sin u\cos u + \rho\rho'\cos u\sin u + 0 = 0$ ，所以 $F = 0$ 。

这总是一个正交坐标图（$F = 0$ ）：经线（$u = $ 常数）和纬线（$v = $ 常数）在直角处相交。这件事和我们对地球仪的视觉印象一致——经纬线确实是垂直的。

面元。$\sqrt{EG - F^2} = \rho\sqrt{(\rho')^2 + (z')^2}$ ，所以面积元素是 $dA = \rho\,ds\,du$ ，其中 $ds = \sqrt{(\rho')^2 + (z')^2}\,dv$ 是轮廓曲线的弧长元素。这就是 Pappus 定理的微分版本：把弧长元素 $ds$ 旋转一圈扫出一个半径 $\rho$ 的圆环带，面积是 $2\pi\rho\,ds$ ；除以 $2\pi$ 得到角度方向上的密度 $\rho\,ds$ 。

特殊情况。取 $\rho(v) = R + r\cos v$ ，$z(v) = r\sin v$ 得到环面；取 $\rho(v) = \sin v$ ，$z(v) = \cos v$ 得到单位球（这就是上面我们已经算过的 $\mathrm{I}_{\text{sphere}} = \mathrm{diag}(\sin^2 v, 1)$ ）。取 $\rho(v) = \cosh v$ ，$z(v) = v$ 得到悬链面，这是一个最小曲面，等会儿我们会再见到。

螺旋面#

把直线 $z = bu$ 沿着 $z$ 轴提升的同时让它扫过半径方向 $v$ ，就得到一个像螺旋楼梯那样的曲面。计算：

• $\mathbf{x}_u = (-v\sin u, v\cos u, b)$ ，所以 $E = v^2 + b^2$ 。
• $\mathbf{x}_v = (\cos u, \sin u, 0)$ ，所以 $G = 1$ 。
• $\mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v = -v\sin u\cos u + v\cos u\sin u + 0 = 0$ ，所以 $F = 0$ 。

值得注意的是：螺旋面和悬链面是局部等距的（同一个等距曲线族里的两端）。这个事实不能从外观上看出来——一个是平的螺旋楼梯，另一个是腰鼓形的极小曲面——但它们的第一基本形式可以用一个变量替换互相变成对方。这也是我反复强调"$E, F, G$ 是内蕴量"的原因：它们看不见曲面在空间里的姿态，只能感受到曲面被一只小蚂蚁踩过时的距离。

双曲抛物面（鞍面）#

这是 Pringles 薯片那种鞍形。计算：

• $\mathbf{x}_u = (1, 0, v)$ ，$E = 1 + v^2$ 。
• $\mathbf{x}_v = (0, 1, u)$ ，$G = 1 + u^2$ 。
• $F = \mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v = uv$ 。

注意 $F$ 不为零：$u, v$ 网格在原点之外都不正交。这一点和上面两个例子形成对照——曲面的弯法决定了一个看似自然的坐标网格是否仍然是正交的。$\det(\mathrm{I}) = (1+u^2)(1+v^2) - u^2v^2 = 1 + u^2 + v^2$ ，所以面元 $dA = \sqrt{1 + u^2 + v^2}\,du\,dv$ 。在原点处面元退化为 $du\,dv$ ，远离原点处面元增长——这个增长恰好量化了"曲面被拉伸了多少"。

下一步#

到这里我们手里的全部信息是 $E, F, G$ 。一个二阶对称正定矩阵，写在每一个坐标图上，按链式法则在坐标图变换下协变。它能告诉我们的是：曲面上的距离、角度和面积。够用了吗？看你想做什么。

如果只想在曲面上跑测地线、计算面积、铺地砖——够用了。整个内蕴几何，包括下一卷我们会展开的 Riemann 几何，都建立在 $\mathrm{I}$ 这一个对象之上。第一基本形式是 Riemann 度量在 2D 的原型。

但如果想知道曲面怎么弯——它在 $\mathbb{R}^3$ 里看起来是凸的、凹的、还是马鞍状的——$\mathrm{I}$ 一个字也不会说。圆柱和平面有完全相同的 $\mathrm{I}$ ，但它们在空间里显然不一样。这是外在几何的领域，下一章的主角。

下一章我会引入 Gauss 映射 $N: M \to S^2$ （把每个点映到它的单位法向量），从它的微分中读出形状算子 $S = -dN$ 。形状算子的两个特征值就是主曲率 $\kappa_1, \kappa_2$ ；它们的乘积是 Gauss 曲率 $K$ ，平均是平均曲率 $H$ 。$K$ 和 $H$ 把"曲面长什么样"压缩成两个标量函数，足够区分球面、平面、马鞍和圆柱。

然后到第四章，会有一个让人惊讶的反转：Gauss 的 Theorema Egregium 说 $K$ ——一个表面上从外在数据 $S$ 算出来的量——其实只依赖 $E, F, G$ 及其导数。换句话说，那只小蚂蚁虽然看不到曲面在空间里的姿态，却能算出 Gauss 曲率。这是经典曲面理论的高潮，也是 Riemann 把整个故事推广到任意维度的起点。