微分几何（八）：微分形式 —— 流形上积分的自然语言

本科电磁学课上有三个让我背得很熟但一直觉得很奇怪的恒等式： $\nabla\times\nabla f = 0$ ， $\nabla\cdot(\nabla\times F) = 0$ ， $\oint_C F\cdot dr = \iint_S (\nabla\times F)\cdot dS$ （经典 Stokes 定理）。还有散度定理、Green 定理，每一个都是分别证明的，要记一长串公式。当时一个朴素的疑问是：这些恒等式凭什么都长得这么"恰好"？三个不同的"基本定理"凭什么都把"边界上的积分"和"内部的导数"连起来？

后来才知道，这是 $\mathbb{R}^3$ 加一个特殊的（欧几里得）度量带来的偶然现象。背后真正的事实是：

在任意维度的任意光滑流形上，只有一个导数算子 $$d$$ （外微分），只有一个积分定理（广义 Stokes 定理）。

梯度、旋度、散度都是 $$d$$ 的化身——分别是 $$d$$ 作用在 0-形式、1-形式、2-形式上的样子。 $\mathrm{curl}\,\mathrm{grad} = 0$ 和 $\mathrm{div}\,\mathrm{curl} = 0$ 这两件事不再是巧合，它们合并成一个等式： $$d^2 = 0$$ ，本质上就是混合偏导数对称（Schwarz 定理）。三个经典积分定理在不同维度的化身合成了一个公式——

\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega.

这个统一观让我第一次看到时整个人安静下来——原来本科那一堆恒等式背后是同一件事。

代价是要换一种视角。向量微积分里的基本对象是向量——东西指向某个方向。微分几何里的基本对象是形式——东西吃一组向量返回一个数。形式不是用来"指向哪里"的，而是用来"被积分"的。一个 1-形式吃一个向量产出一个数（就像电场吃位移产出功），一个 2-形式吃两个向量产出一个有向面积（就像磁通吃面元产出穿过的通量）， $$k$$ -形式吃 $$k$$ 个向量产出一个有向 $$k$$ 维体积。形式天然是用来在 $$k$$ 维子流形上积分的。

这个视角转换有时让初学者难受——“为什么不直接用向量？” 答案是：在 $\mathbb{R}^3$ 上加欧几里得度量，向量和 1-形式之间有一个标准同构（升降指标），所以确实可以混着用。但一离开 $\mathbb{R}^3$ （比如到广义相对论的洛伦兹时空、辛流形、或者只有光滑结构没有度量的情况），这个同构要么消失要么变形——这时候必须区分向量和形式，否则记号就乱套。微分几何选择从一开始就保持这个区分；本科向量微积分则在背地里悄悄用度量做了转换。

这一章的目的是把"形式"这套语言搭起来：先在单个向量空间里构造 $\Lambda^k V^*$ （反对称多重线性形式的空间），然后通过流形粘合得到 $\Omega^k(M)$ ，定义楔积 $\wedge$ （怎么把不同阶的形式乘起来）、外微分 $$d$$ （怎么求导）、拉回 $$f^*$$ （怎么换坐标）。中间会做一些数值例子，把经典向量微积分的公式翻译成形式语言。最后引入 de Rham 上同调——闭形式模恰当形式，一个连接拓扑和分析的不变量。下一章再讲 Stokes 定理。

一形式：切向量的对偶#

回顾系列文章前面的部分，余切空间 $$T_p^* M$$ 是 $$T_p M$$ 的对偶向量空间 —— 即线性泛函 $\alpha: T_p M \to \mathbb{R}$ 的空间。 $$M$$ 上的一个一形式 $\omega$ 是一个光滑赋值 $p \mapsto \omega_p \in T_p^* M$ 。等价地，它是余切丛 $T^*M \to M$ 的一个光滑截面。

\omega = \omega_i(x)\, dx^i

其中 $\omega_i$ 是光滑系数。一形式的空间记作 $\Omega^1(M)$ 。

\omega(X)(p) = \omega_p(X_p) = \omega_i(p) X^i(p) \in \mathbb{R}.

配对在两个参数上都是 $C^\infty(M)$ -线性的： $\omega(fX) = f\omega(X)$ 和 $(f\omega)(X) = f\omega(X)$ 。这种逐点线性是一形式的定义特征；它将它们与 Lie 括号等算子区分开来。

微分：每个光滑函数 $f \in C^\infty(M)$ 生成一个一形式 $$df$$ 通过 $$df(X) = X(f)$$ 。在坐标系中， $df = \frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i$ 。几何上， $$df_p$$ 是 $$f$$ 在 $$p$$ 处的线性近似。形式为 $$df$$ 的一形式称为恰当的形式是指可以表示为某个形式的外微分的结果。
通过度量的共向量：如果 $$M$$ 有一个 Riemann 度量 $$g$$ ，那么每个向量场 $$X$$ 有一个音乐同构 $X^\flat$ —— 一个由 $X^\flat(Y) = g(X, Y)$ 定义的一形式。在欧几里得坐标系中，这只是降低指标。这是每当向量微积分假装“梯度”是一个向量场而不是一形式时暗中发生的操作。

df = (2x + y)\,dx + x\,dy.

df_p(X_p) = 4 \cdot 3 + 1 \cdot (-5) = 7.

通过方向导数验证： $\nabla f(1,2) = (4, 1)$ ，向量 $$X = (3, -5)$$ ，点积 $$= 12 - 5 = 7$$ 。结果相同。

$\omega$ 是闭的如果 $d\omega = 0$ 。它是恰当的如果 $\omega = d\eta$ 对于某个低一度的形式 $\eta$ 。恒等式 $$d^2 = 0$$ 意味着每个恰当形式都是闭的。反过来说，每个闭形式是否都是恰当的？这个问题引出了de Rham 上同调是研究流形上微分形式的一种工具。

在坐标系中， $df = \partial_i f\,dx^i$ 且 $d^2 f = \partial_j \partial_i f\,dx^j \wedge dx^i$ 。混合偏导数是对称的， $\partial_j\partial_i f = \partial_i\partial_j f$ ，而 $dx^j \wedge dx^i = -dx^i \wedge dx^j$ 是反对称的。对称与反对称的乘积为零。因此 $$d^2 f = 0$$ 。通过 Leibniz 规则和对次数的归纳， $d^2 \omega = 0$ 对所有 $\omega$ 成立。

\omega = \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2 + y^2}.

d\omega = \frac{y^2 - x^2}{r^4}\,dx\wedge dy + \frac{x^2 - y^2}{r^4}\,dx\wedge dy = 0.

因此 $\omega$ 是闭的。但 $\omega$ 在 $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ 上不是恰当的：围绕单位圆积分 $\omega$ 得到 $\int_{S^1}\omega = 2\pi \neq 0$ ，而每个恰当形式在闭合环路上的积分都是零（由 Stokes 定理 —— 见第 9 章）。形式 $\omega$ 实质上是 $d\theta$ ，其中 $\theta$ 是角度，而角度在 $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上不是全局定义的函数。

这个单一的例子包含了整个 de Rham 上同调的思想：闭性是局部的，恰当性是全局的，差异检测流形中的洞。

在可缩开集（例如球）上，每个闭形式是恰当的。因此，“闭意味着恰当”的失败纯粹是全局的、拓扑的现象。在 $\mathbb{R}^n$ 上，每个闭形式都是恰当的。在穿孔平面上，角度形式 $\omega$ 给出了一个非平凡的上同调类。

在星形区域（例如原点周围），定义同伦算子 $h: \Omega^k \to \Omega^{k-1}$ 通过沿半径积分： $(h\omega)_p = \int_0^1 t^{k-1}\,\iota_{\vec r}\omega_{tp}\,dt$ ，其中 $\vec r$ 是径向向量场。然后检查 $dh + hd = \mathrm{id}$ 在 $\Omega^k$ 上对于 $k \geq 1$ 成立。应用于闭形式（ $d\omega = 0$ ），这给出 $\omega = d(h\omega)$ —— 因此 $\omega$ 是恰当的，有显式原像 $h\omega$ 。引理的技术内容只是在可缩域上存在这样的同伦算子。

当流形不可缩时，你不能构造全局同伦算子。但你可以用可缩开集覆盖流形，在每个开集上构建局部原像，并跟踪它们在重叠部分上的不一致。不一致之处形成 Cech 上链，Cech-de Rham 定理将由此产生的上同调与 $H^k_{dR}$ 识别。这就是上同调类如何编码障碍的方式：一个类是非零的，当且仅当没有全局解时，局部解存在。

拉回：形式在映射下自然行为#

(f^*\omega)_p(X_1, \dots, X_k) = \omega_{f(p)}(df_p(X_1), \dots, df_p(X_k)).

$$M$$ 上的形式通过 $$f$$ 的微分“感受” $$N$$ 上的形式。

拉回是：

$\mathbb{R}$ -线性的：2. 乘法的： $f^*(\alpha \wedge \beta) = (f^*\alpha)\wedge(f^*\beta)$ 。
函子的： $(f \circ g)^* = g^* \circ f^*$ ， $\mathrm{id}^* = \mathrm{id}$ 。
与 $$d$$ 交换： $f^*(d\omega) = d(f^*\omega)$ 。

拉回与 $$d$$ 交换的事实至关重要 —— 这使得 de Rham 复形在映射下自然，并且是每个变量变换计算的引擎。

f^*\omega = (u^2 - v^2)\,d(2uv) = (u^2 - v^2)(2v\,du + 2u\,dv) = 2v(u^2 - v^2)\,du + 2u(u^2 - v^2)\,dv.

代入 $$x = u^2 - v^2$$ 到系数中，并将 $$dy$$ 替换为 $df^y = 2v\,du + 2u\,dv$ 。就是这样。

dx = \cos\theta\,dr - r\sin\theta\,d\theta, \quad dy = \sin\theta\,dr + r\cos\theta\,d\theta.

f^*(dx\wedge dy) = (\cos\theta\,dr - r\sin\theta\,d\theta)\wedge(\sin\theta\,dr + r\cos\theta\,d\theta)

= r\cos^2\theta\,dr\wedge d\theta - r\sin^2\theta\,d\theta\wedge dr

= r\cos^2\theta\,dr\wedge d\theta + r\sin^2\theta\,dr\wedge d\theta = r\,dr\wedge d\theta.

$$r$$ 因子 —— 极坐标的雅可比行列式 —— 自动出现。不需要记住“对于极坐标，乘以 $$r$$ ”：它内置于形式的代数中。

拉回是使积分坐标无关的操作。当你计算 $\int_M f^*\omega$ 对于 $f: M \to N$ 时，你是在“从 $$M$$ 的角度看形式 $\omega$ ”进行积分。如果 $$f$$ 是 $$M$$ 在 $$N$$ 中的参数化，这正是变量变换公式的伪装。在规范理论中，规范变换下的拉回是改变框架的方式。在统计力学中，坐标变换下的拉回是配分函数变换的方式。代数规则在每种情况下都相同。

一形式不能在一般情况下前推的原因是 $f: M \to N$ 可能不是单射 —— 在 $$N$$ 的单点处，你在 $$M$$ 中有多个原像，没有规范的方法将所有这些形式数据结合起来。对于拉回，情况相反： $$M$$ 中的每个点都有一个唯一的像 $f(p) \in N$ ，因此你只需将形式数据从 $$f(p)$$ 传回 $$p$$ 。不对称是内在的。这就是为什么形式的语言是协变的（在任何光滑映射下表现良好），而向量场是逆变的（仅在微分同胚或小心的浸入下）。

内积和 Cartan 的魔幻公式#

(\iota_X \omega)(Y_1, \dots, Y_{k-1}) = \omega(X, Y_1, \dots, Y_{k-1}).

将 $$X$$ 插入 $\omega$ 的第一个槽位。对于 0-形式（函数）， $\iota_X f = 0$ 。

\mathcal{L}_X = d \iota_X + \iota_X d.

这个公式是第 7 节（向量场、流、Lie 导数）的微分几何与本文的形式微积分之间的桥梁。两边都是 $\Omega^*(M)$ 上的保次算子，满足相同的公理；你可以在函数上证明等式（在那里它简化为 $\mathcal{L}_X f = X(f) = df(X) = \iota_X df$ ）和在 $$df$$ 上（两边都给出 $$d(X(f))$$ ），然后通过 Leibniz 扩展。

形式 $\omega$ 在 $$X$$ 的流下不变当且仅当 $\mathcal{L}_X \omega = 0$ 。Cartan 公式则说 $d\iota_X\omega + \iota_X d\omega = 0$ 。如果 $\omega$ 是闭的，这简化为 $d(\iota_X\omega) = 0$ —— 函数（或形式） $\iota_X\omega$ 也是闭的。这是 Hamilton 方程的几何内容：辛流形上的 Hamilton 流保持辛形式，而你收缩的“函数”是 Hamilton 量本身。

为什么叫“魔幻”？Cartan 公式将三种不同的操作压缩成一个整洁的恒等式。没有它，你需要通过繁琐地展开坐标中的拉回公式来证明形式在流下的不变性。有了它，你只需代数地检查 $d\iota_X\omega + \iota_X d\omega = 0$ ，根本不用提及流。在辛几何中，这将 Liouville 定理（Hamilton 流下的体积守恒）从计算变成了一行：如果 $\omega$ 是辛形式， $$X_H$$ 是 Hamilton 量，则 $\iota_{X_H}\omega = -dH$ ，所以 $d\iota_{X_H}\omega = -d^2H = 0$ ，且 $\mathcal{L}_{X_H}\omega = d\iota_{X_H}\omega + \iota_{X_H}d\omega = 0$ ——因为 $d\omega = 0$ （辛形式是闭的）且 $d\iota_{X_H}\omega = -d^2H = 0$ 。

de Rham 上同调#

H^k_{dR}(M) = \frac{\ker(d: \Omega^k \to \Omega^{k+1})}{\mathrm{im}(d: \Omega^{k-1} \to \Omega^k)} = \frac{闭的 k-形式}{恰当的 k-形式}.

分母有意义，因为恰当形式总是闭的，所以像包含在核中。

核心结论是： $H^k_{dR}(M)$ 与奇异上同调 $H^k(M; \mathbb{R})$ 典范同构。这个定理说明：一个光滑几何不变量（闭形式模恰当形式）与一个拓扑不变量（上链的上同调类）一致。桥梁是积分配对：闭的 $$k$$ -形式可以在积分到 $$k$$ -循环上，给出 $H^k(M; \mathbb{R})$ 中的一个类，这个映射是一个同构。

一些例子：

$H^0_{dR}(M) = \mathbb{R}^c$ ，其中 $$c$$ 是 $$M$$ 的连通分支数。（0-形式闭当且仅当局部常数。）
$H^k_{dR}(\mathbb{R}^n) = 0$ 对于 $k \geq 1$ 成立（Poincaré 引理 — $\mathbb{R}^n$ 是可缩的）。
$H^1_{dR}(S^1) = \mathbb{R}$ ，由 $d\theta$ 生成。角度形式是闭的但不是恰当的。
$H^1_{dR}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) = \mathbb{R}$ ，由同样的角度形式 $\omega$ 生成。原点处的“洞”被上同调检测出来。
$H^k_{dR}(\mathrm{torus}\,T^2) = \mathbb{R}^{\binom{2}{k}}$ ：对于 $$k = 0, 1, 2$$ ，维度分别为 $$1, 2, 1$$ 。

为什么这很重要。上同调是拓扑的代数阴影，而 de Rham 定理说你可以用分析方法计算它 —— 在流形上使用微积分而不是组合工具。在物理学中，拉格朗日中的每个“拓扑项”（瞬子、theta 真空、Chern-Simons）都是一个上同调类。电荷或通量的量子化条件（Dirac 单极子、Aharonov-Bohm 效应）是上同调的整性条件。微分几何和拓扑在这个同构中完美结合。

函子性。拉回 $f^*: H^k_{dR}(N) \to H^k_{dR}(M)$ 是良定义的，因为 $$f^*$$ 与 $$d$$ 可交换（闭的形式映到闭的形式），并且恰当形式的拉回仍然是恰当的。因此，光滑映射诱导上同调上的映射，同伦映射诱导相同的映射（de Rham 上同调的同伦不变性）。这使得上同调成为拓扑不变量：它只依赖于 $$M$$ 的同伦类型，而不依赖于其光滑结构或度量。两个光滑不等价但同伦类型相同的流形具有相同的 de Rham 上同调 —— 尽管它们可能在更精细的不变量上有所不同。

计算工具。Mayer-Vietoris 序列、Künneth 公式和 Poincaré 对偶是计算 de Rham 上同调的主要工具。Künneth 公式给出 $H^*(M\times N) \cong H^*(M)\otimes H^*(N)$ ，这就是为什么环面的 $H^* = \mathbb{R}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}$ 可以从 $H^*(S^1) = \mathbb{R}, \mathbb{R}$ 推导出来。Poincaré 对偶在一个紧致定向 $$n$$ 维流形上说 $H^k \cong H^{n-k}$ ，配对通过 $\alpha \wedge \beta$ 的积分给出。这些工具将在第9篇文章中大量使用。

物理中的经典微分形式#

为了巩固理解，这里给出形式的自然物理解释。

功。经典力学中的力 $$F$$ 最自然地是一个1-形式：它作用于一个位移向量并返回功。 $W = \int_\gamma F$ 是一个1-形式的线积分。“力向量”实际上是这个1-形式的度量对偶——在欧几里得空间中，度量如此平凡以至于这种区别不可见。

通量。流体通过表面的通量最自然地是一个2-形式。在 $\mathbb{R}^3$ 中，速度场 $$v = (v^1, v^2, v^3)$$ 给出通量2-形式 $\eta = v^1\,dy\wedge dz + v^2\,dz\wedge dx + v^3\,dx\wedge dy$ 。那么 $\int_S \eta$ 就是流体穿过 $$S$$ 的速率。“向量” $$v$$ 和“2-形式” $\eta$ 通过 Hodge 星算符（依赖于度量和定向）相关联。

F = -E_i\,dx^i\wedge dt + B_i\,*dx^i,

dF = 0, \qquad d{*}F = J,

其中 $$J$$ 是源3-形式（电流）。第一个方程 ( $$dF = 0$$ ) 包含了“没有磁单极子” ( $\nabla\cdot B = 0$ ) 和法拉第定律 ( $\nabla\times E = -\partial_t B$ )。第二个方程 ( $$d{*}F = J$$ ) 包含了高斯定律和安培-麦克斯韦定律。几何表述使洛伦兹协变性显而易见，规范对称性 $A \to A + d\chi$ （其中 $$F = dA$$ ）从 $$d^2 = 0$$ 自动得出。

阿哈罗诺夫-玻姆效应。矢势 $$A$$ 是一个1-形式，其外导数是 $$F = dA$$ 。在无限长螺线管外部，场 $$F = 0$$ 但 $$A$$ 在任何环绕螺线管的回路 $\gamma$ 上有 $\oint_\gamma A = \Phi$ 。形式 $$A$$ 是闭合的（因为 $$dA = F = 0$$ 在外部），但不是恰当的（积分不为零）。 $$A$$ 的上同调类在 $H^1(\mathbb{R}^3 \setminus \mathrm{solenoid}) = \mathbb{R}$ 中就是带电粒子看到的东西——这就是阿哈罗诺夫-玻姆相位。这是一个纯拓扑效应，具有可测量的物理结果。微分形式将其变成一句话。

辛形式。相空间 $$T^*M$$ 携带一个典范2-形式 $\omega = dp_i \wedge dq^i$ 。哈密顿动力学是这个形式的几何：哈密顿函数 $$H$$ 通过 $\iota_{X_H}\omega = -dH$ 生成一个向量场 $$X_H$$ 。 $$X_H$$ 的流保持 $\omega$ ( $\mathcal{L}_{X_H}\omega = 0$ ——刘维尔定理) 并保持 $$H$$ (能量守恒)。整个经典力学实际上是伪装的辛几何。

工作示例：谐振子。相空间 $\mathbb{R}^2$ 带坐标 $$(q, p)$$ ，辛形式 $\omega = dp\wedge dq$ ，哈密顿量 $H = \tfrac{1}{2}(p^2 + q^2)$ 。那么 $dH = p\,dp + q\,dq$ ，需要找到 $$X_H$$ 使得 $\iota_{X_H}(dp\wedge dq) = -dH = -p\,dp - q\,dq$ 。设 $X_H = a\partial_q + b\partial_p$ ， $\iota_{X_H}\omega = a\,dp - b\,dq$ 。匹配： $$a = -p$$ ， $$-b = -q$$ 所以 $$b = q$$ 。等等——让我重做： $\iota_{X_H}(dp\wedge dq)(Y) = (dp\wedge dq)(X_H, Y) = X_H^p Y^q - X_H^q Y^p = b Y^q - a Y^p$ 。所以 $\iota_{X_H}\omega = b\,dq - a\,dp$ 。设等于 $-p\,dp - q\,dq$ ： $$b = -q$$ ， $$a = p$$ 。因此 $X_H = p\partial_q - q\partial_p$ 。流有 $\dot q = p, \dot p = -q$ ——这是谐振子方程。三行形式代数再现了所有力学。

体积形式和 Hodge 星算符。一个定向 $$n$$ 维流形上的黎曼度量 $$g$$ 给出了一个典范体积 $$n$$ -形式 $\mathrm{vol}_g$ 和一个 Hodge 星算符 $*: \Omega^k \to \Omega^{n-k}$ 。Hodge 星算符是“ $$k$$ -形式”和“ $$(n-k)$$ -形式”之间的桥梁——它允许你在通过 $\flat$ 和 * 在 $\mathbb{R}^3$ 中将向量和2-形式互相转换。 $\mathbb{R}^3$ 上的向量微积分是三维欧几里得度量下的 Hodge 星算符的具体应用。

拉普拉斯算符作为 $d\delta + \delta d$ 。有了 Hodge 星算符和度量，定义余微分 $\delta = (-1)^? *d*$ （符号取决于维数和次数）。拉普拉斯-德拉姆算符 $\Delta = d\delta + \delta d$ 作用于任何形式次的对象，推广了函数上的拉普拉斯算符。调和形式 ( $\Delta\omega = 0$ ) 通过 Hodge 定理对应于德拉姆上同调类：每个上同调类在一个紧致定向黎曼流形上有唯一的调和代表。这是 Hodge 理论的分析基础，也是热核证明 Atiyah-Singer 指标定理的起点。

物理学中的联络——预览。主丛上的联络（文章12）是一个李代数值的1-形式。它的曲率是一个李代数值的2-形式。杨-米尔斯理论和广义相对论是关于带有李代数值的微分形式的理论。没有形式，就没有工具；有了形式，方程可以两行写完。这就是为什么每本现代的规范理论教科书都用早期章节介绍微分形式——这些工具是必不可少的。

一个小哲学评论。 $\mathbb{R}^3$ 上的向量微积分确实有用，大多数物理学家一辈子都不需要翻译成微分形式。支持形式的理由不是说向量微积分错了——而是向量微积分中的每一个奇迹（恒等式、积分定理、变量变换公式）在形式语言中变得常规，而向量微积分中的每一个困难（曲线坐标、高维推广、叉积的几何意义）都消失了。学习形式的投资在你需要在弯曲的4维时空或 $$2n$$ 维辛流形上计算时会十倍回报。

接下来的内容#

已经建立了微分形式的微积分：楔积、外导数、拉回、内乘、Cartan 的神奇公式、de Rham 上同调。这些都是流形上的局部操作。下一篇文章将通过 Stokes 定理把这些操作与整体积分联系起来 —— 这一条定理涵盖了微积分基本定理、Green 定理、经典 Stokes 定理和散度定理。

关键思想总结如下：

$$k$$ -形式 是 $\Lambda^k T^* M$ 的光滑截面 —— 切向量上的反对称多重线性泛函。形式设计用于积分。
楔积 $\wedge$ 使 $\Omega^*(M)$ 成为一个分级交换代数。2-形式 $dx\wedge dy$ 衡量有符号面积。
外导数 $d: \Omega^k \to \Omega^{k+1}$ 是唯一扩展 $$df$$ 在函数上的反导数，且 $$d^2 = 0$$ 。
闭形式 ( $d\omega = 0$ ) 和恰当形式 ( $\omega = d\eta$ ) 在局部上一致 (Poincare 引理)，但在全局上不同 —— 差异是 de Rham 上同调。
拉回 $$f^*$$ 是光滑映射在形式上的自然作用，与 $$d$$ 和 $\wedge$ 交换。
Cartan 的神奇公式 $\mathcal{L}_X = d\iota_X + \iota_X d$ 将形式微积分与向量场和流联系起来。
$\mathbb{R}^3$ 上的向量微积分是通过度量和 Hodge 星号翻译的形式微积分 —— 梯度、旋度、散度都是 $$d$$ 的伪装。

这是微分几何系列（共 12 篇文章）的第 8 部分。

前一篇：第 7 部分 — 向量场和流

后一篇：第 9 部分 — 积分和 Stokes 定理