微分几何（十一）：黎曼几何中的曲率 —— 黎曼、里奇和标量

上一章在球面上做了一个简单的实验：从北极点出发，把一个切向量沿着一条闭合的三角形回路平行移动一圈，结果回到北极时，向量转了一个角度。在 $\mathbb{R}^n$ 上做同样的实验，向量回来还是原来的方向，没转过任何角度。

这个差距——平行移动绕环路一圈是否能"完全归位"——就是曲率的定义。直白地说：

曲率 = 平行移动失效的程度。

如果在一个空间上，沿着任意闭合环路平行移动总是能让向量原样返回，那这个空间就是平的（曲率为零）。 $\mathbb{R}^n$ 满足这条；圆柱也满足（虽然外形看起来弯，但内蕴是平的）。如果存在某个环路使得向量返回时被旋转了，那个环路所在的位置就有非零曲率。球面上每个三角形回路都让向量旋转一个非零角度，所以球面处处有正曲率。

R(X, Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y]}Z.

读法： $\nabla_X \nabla_Y$ 和 $\nabla_Y \nabla_X$ 不交换的失败程度（再扣除掉 $$X, Y$$ 自己不交换的部分）。在平直空间上，二阶协变导数就像普通偏导一样可以换序（" $\partial_x \partial_y = \partial_y \partial_x$ "），所以 $R \equiv 0$ 。在弯曲空间上不可换序，差距就是 $$R$$ 。这是一个把"曲率 = 二阶导不可换"在张量层面精确化的公式。

直接用 $$R$$ 做计算很笨重——它有 $$n^4$$ 个分量，到了四维就是 256 个数。但实际工作中常常不需要 $$R$$ 的全部信息，可以用三种"压缩"形式：

截面曲率 $K(\Pi)$ ：给定一个二维平面 $\Pi \subset T_pM$ ， $K(\Pi)$ 是一个数。直觉是：在 $\Pi$ 方向上画一个无穷小圆环，平行移动绕一圈，向量旋转的角度比上圆环面积。在二维曲面（比如上一章的球面、双曲平面），整个切空间就是一个二维平面，截面曲率退化成 Gauss 曲率 $$K$$ 。所以截面曲率是 Gauss 曲率向高维的推广。
Ricci 曲率 $\mathrm{Ric}$ ：把 $$R$$ 缩并一次，得到一个对称的 $$(0,2)$$ 张量。直觉是"从一个点出发，沿不同方向画的小测地球，体积比欧氏体积是大还是小？"。Ricci 直接出现在爱因斯坦方程里： $\mathrm{Ric} - \frac{1}{2}Rg = 8\pi T$ （物质告诉时空怎么弯，时空告诉物质怎么动）。
标量曲率 $$S$$ ：把 Ricci 再缩并一次，得到每个点上的一个数。它出现在 Einstein-Hilbert 作用量 $\int S\,\mathrm{vol}$ 里，是广义相对论的拉格朗日量。

这三个量层层递减、信息越来越少，但越来越好计算、越来越好直观理解。下一节会建立它们之间的关系，并用球面的具体计算来检验所有公式。

一个对照可以帮助记住这套结构：曲率张量之于 Riemann 流形，就像 Hessian 矩阵之于光滑函数——它在每个点捕获所有二阶局部信息。函数的 Hessian 在正交群下分解成"迹（拉普拉斯）+ 无迹对称 + 反对称"三个不可约部分；曲率张量也分解成"标量（迹的迹）+ Ricci（迹）+ Weyl（无迹）“三部分。结构对应得几乎一一对应。如果这个类比记在心里，下面的代数操作就不会显得那么任意。

黎曼曲率张量#

R(X, Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y]}Z.

读作：“ $\nabla_X \nabla_Y$ 与 $\nabla_Y \nabla_X$ 不交换的失败，修正了 $$X$$ 和 $$Y$$ 自身不交换的事实（它们的括号是 $$[X, Y]$$ ）。”在平坦空间（ $\mathbb{R}^n$ ）上， $\nabla$ 只是普通的偏导数，二阶协变导数是可交换的，所以 $R \equiv 0$ 。曲率是 $\nabla$ 不可交换的障碍。

尽管涉及二阶导数， $$R(X, Y)Z$$ 在每个 $$X, Y, Z$$ 上都是 $C^\infty$ -线性的。证明是一个直接的计算：写 $X = X^i\partial_i$ ，二阶导数 $X^i X^j \partial_i\partial_j$ 会出现，但 $$X, Y$$ 的反对称化消除了它们。因此 $$R$$ 是一个真正的张量 —— 它在 $$p$$ 点的值仅取决于 $$X_p, Y_p, Z_p$$ ，而不是全局的场。这就是使 $$R$$ 成为逐点几何量的原因。

R^l_{ijk} = \partial_i \Gamma^l_{jk} - \partial_j \Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{im}\Gamma^m_{jk} - \Gamma^l_{jm}\Gamma^m_{ik}.

用文字描述：Christoffel 符号的导数，减去对称对应项，加上反对称化的“Christoffel 平方”项。这两部分在正确的指标约定下完美抵消。

R^\theta_{\phi\theta\phi} = \partial_\phi \Gamma^\theta_{\theta\phi} - \partial_\theta \Gamma^\theta_{\phi\phi} + \Gamma^\theta_{\phi m}\Gamma^m_{\theta\phi} - \Gamma^\theta_{\theta m}\Gamma^m_{\phi\phi}.

$\Gamma^\theta_{\theta\phi} = 0$ ，所以第一项为零。 $\partial_\theta(-\sin\theta\cos\theta) = -(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = -\cos(2\theta)$ 。第三项： $\Gamma^\theta_{\phi m}\Gamma^m_{\theta\phi}$ ，只有当 $m = \phi$ 时非零（ $\Gamma^\theta_{\phi\phi}\Gamma^\phi_{\theta\phi} = (-\sin\theta\cos\theta)(\cot\theta) = -\cos^2\theta$ ）。第四项： $\Gamma^\theta_{\theta m}\Gamma^m_{\phi\phi}$ ，只有当 $m = \theta$ 时非零，但 $\Gamma^\theta_{\theta\theta} = 0$ ，所以为零。仔细记录指标，标准答案是 $R^\theta_{\phi\theta\phi} = \sin^2\theta$ —— 正如预期的那样，对于单位球面是正的。

降低后的黎曼张量是 $R_{\theta\phi\theta\phi} = g_{\theta\theta}R^\theta_{\phi\theta\phi} = \sin^2\theta$ 。在 $\partial_\theta \wedge \partial_\phi$ 平面上的截面曲率是 $K = R_{\theta\phi\theta\phi}/(g_{\theta\theta}g_{\phi\phi} - g_{\theta\phi}^2) = \sin^2\theta/\sin^2\theta = 1$ 。单位球面具有常高斯曲率 $$1$$ ，正如 Theorema Egregium 和基本直觉所建议的那样。

黎曼张量的对称性#

$$R$$ 看起来有 $$n^4$$ 个分量，但对称性把独立分量数压到 $$n^2(n^2-1)/12$$ 。在 $$n=2$$ 时只剩一个独立分量（这就是 Gauss 曲率 $$K$$ ，所以二维曲面只有一个曲率）； $$n=3$$ 时有 6 个； $$n=4$$ 时有 20 个。这种对称性消减分量数的模式是张量几何的常态——每个对称性意味着一个独立约束，约束越多自由度越少。Riemann 张量的对称性来自度量兼容性 + 无挠 + Bianchi 恒等式三件事的结合。

所有指标降低后的黎曼张量满足：

第一对反对称性： $R_{ijkl} = -R_{jikl}$ 。
第二对反对称性： $R_{ijkl} = -R_{ijlk}$ 。
对换对称性： $R_{ijkl} = R_{klij}$ 。
第一 Bianchi 恒等式： $R_{ijkl} + R_{iklj} + R_{iljk} = 0$ 。
第二 Bianchi 恒等式： $\nabla_m R_{ijkl} + \nabla_k R_{ijlm} + \nabla_l R_{ijmk} = 0$ 。

这些将独立分量的数量从 $$n^4$$ 减少到 $$n^2(n^2-1)/12$$ 。在二维中，这是 1 个分量（高斯曲率）。在三维中，6 个分量。在四维中，20 个分量。

用度量两次收缩第二 Bianchi 恒等式给出 $\nabla^j(R_{jk} - \tfrac{1}{2}R g_{jk}) = 0$ 。组合 $G_{jk} = R_{jk} - \tfrac{1}{2}R g_{jk}$ 是 爱因斯坦张量，这个无散度性质是广义相对论中能量动量守恒的几何起源。爱因斯坦方程 $G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$ 之所以一致，是因为两边都是无散度的 —— Bianchi 给出 $\nabla G = 0$ ，物理要求 $\nabla T = 0$ 。

截面曲率#

截面曲率 $K(\Pi)$ 是 Gauss 曲率向高维的推广，但有一个微妙之处：在二维曲面上 $$K$$ 是逐点定义的一个数；在 $$n$$ 维流形上每个点上有 $\binom{n}{2}$ 个不同的二维平面方向，所以截面曲率是每点一个函数——每个二维子空间一个值。如果在每个点上所有方向的截面曲率都相等，称为常曲率空间——这是非常特殊的几何，包括球面、欧氏空间、双曲空间这三种二维模型的高维推广。

对于任何由 $$X, Y$$ 张成的 $$T_p M$$ 中的二维平面 $\Pi$ ，截面曲率 为

K(\Pi) = \frac{R(X, Y, X, Y)}{g(X, X)g(Y, Y) - g(X, Y)^2}.

分母是 $$X, Y$$ 张成的平行四边形的面积平方。整个表达式仅依赖于 $\Pi$ ，而不依赖于基的选择。

$K(\Pi)$ 是在 $$p$$ 点处，通过指数映射 $\Pi$ 获得的二维表面的高斯曲率 —— 通过 $$p$$ 点且初始方向在 $\Pi$ 中的测地线表面。

举个例子。 $\mathbb{R}^n$ ： $K \equiv 0$ 。圆 $$S^n$$ ： $K \equiv 1$ 。双曲 $\mathbb{H}^n$ ： $K \equiv -1$ 。 $S^2 \times \mathbb{R}$ ：球面平面的 $$K = 1$$ ，任何带有 $\mathbb{R}$ 方向的平面的 $$K = 0$$ 。

对称性的一个结果：知道每个二维平面上的 $$K$$ 可以完全确定 $$R$$ 。截面曲率足以编码完整的曲率张量。

对于半径为 $$r$$ 的圆 $$n$$ -球，每个二维平面都有 $$K = 1/r^2$$ 。证明：由于 $$SO(n+1)$$ 下的对称性， $K(\Pi)$ 的值不依赖于 $\Pi$ 的选择。因此 $$K$$ 是常数。为了找到常数，取最简单的二维平面（球坐标中的 $\partial_\theta \wedge \partial_\phi$ 平面），并使用上面的计算： $$K = 1/r^2$$ （单位半径的结果在度量缩放下按 $$1/r^2$$ 缩放）。对于单位球面，这是 $K \equiv 1$ ；对于半径为 $$R$$ 的球面，它是 $K \equiv 1/R^2$ 。

扭曲乘积 $(M_1 \times M_2, g_1 + f^2 g_2)$ ，其中 $f: M_1 \to \mathbb{R}_{>0}$ 的截面曲率由因子的曲率和 $$f$$ 的导数决定。对于标准假设 $g = dr^2 + f(r)^2 g_{S^{n-1}}$ —— $\mathbb{R}^n$ 上的旋转对称度量 —— 得到 $K_{\text{径向}} = -f''/f$ 和 $K_{\text{切向}} = (1 - (f')^2)/f^2$ 。特殊化： $$f(r) = r$$ 给出 $\mathbb{R}^n$ （两个曲率均为零）； $f(r) = \sin r$ 给出 $$S^n$$ （两个曲率均为 $$1$$ ）； $f(r) = \sinh r$ 给出 $\mathbb{H}^n$ （两个曲率均为 $$-1$$ ）。这三个模型空间是用三种“球面-三角”扭曲函数 $r, \sin r, \sinh r$ 的扭曲乘积，这就是它们都是常曲率的原因。

里奇和标量曲率#

Ricci 曲率怎么解读？最直观的方式：在一个点 $$p$$ 处选一个方向 $$v$$ ，看从 $$p$$ 出发沿着 $$v$$ 方向画一条短测地线，比较测地线附近的’测地球’体积和欧氏空间里相应体积的差距。Ricci 张量 $\mathrm{Ric}(v, v)$ 控制这个体积差的二阶项。如果 $\mathrm{Ric}(v, v) > 0$ ，附近测地球体积比欧氏的小（球面上正是这样——球面体积小于切平面体积）；如果 $$< 0$$ ，反过来（双曲空间）。这种’体积比较’解读是为什么 Ricci 在物理学里这么重要：爱因斯坦方程 $\mathrm{Ric} - \frac{1}{2}Rg = 8\pi T$ 把’物质让局部体积塌缩’（左边）和’物质能量分布’（右边）连了起来。

里奇张量 是黎曼张量在第一和第三指标上的迹：

\mathrm{Ric}(Y, Z) = \mathrm{tr}(X \mapsto R(X, Y)Z), \qquad R_{jk} = R^i_{jik}.

它是对称的，有 $$n(n+1)/2$$ 个独立分量。

$\mathrm{Ric}(v, v)$ 在一定常数下是所有包含 $$v$$ 的二维平面上的截面曲率的平均值。因此，里奇是一个“方向平均”的曲率，告诉你在方向 $$v$$ 上小测地球体的体积如何偏离欧几里得体积。

Bishop-Gromov：在一个具有 $\mathrm{Ric} \geq (n-1)k g$ 的完备流形中，测地球体的体积受常曲率 $$k$$ 的模型空间中体积的限制。这推动了 Myers 定理（正里奇 $\Rightarrow$ 紧致）和许多比较结果。

标量曲率 是里奇张量的迹： $R = g^{ij}R_{ij}$ ，每点一个函数。

在广义相对论中，爱因斯坦-希尔伯特作用 是 $S[g] = \int_M R\,\mathrm{vol}_g$ 。关于度量的变化给出真空爱因斯坦方程 $\mathrm{Ric}_{ij} - \tfrac{1}{2}R g_{ij} = 0$ 。因此，标量曲率是唯一的几何“最小作用” —— 爱因斯坦方程来自最小化时空曲率，而爱因斯坦-希尔伯特泛函是“最简单”的精确含义。

任意闭流形上的每个黎曼度量是否可以通过共形重缩放到常标量曲率？答案（由 Yamabe-Trudinger-Aubin-Schoen 证明）是肯定的。这是几何分析的基础结果之一。

更引人注目的事实是：并非每个光滑流形都允许正标量曲率的度量。Lichnerowicz 表明，在旋量流形上，调和旋量（与 Dirac 算子的 Atiyah-Singer 指数相关）的存在是一个障碍。Gromov-Lawson 和 Stolz 定理分类了哪些旋量流形在维度 $\geq 5$ 时允许正标量曲率。因此，尽管标量曲率“只是一个点上的数”，但它携带了深刻的拓扑信息。

为什么是标量曲率？在所有简单的曲率标量中， $$R$$ 是唯一在变化下给出二阶 Euler-Lagrange 方程的。其他选择（ $R^2, |\mathrm{Ric}|^2, |\mathrm{Riem}|^2$ ）导致四阶方程并且行为不佳。这就是为什么广义相对论使用爱因斯坦-希尔伯特作用：它是唯一“最简单”的选择，可以产生良好的理论。高阶曲率校正在弦理论中出现，但它们是爱因斯坦理论的微扰细化，而不是替代。

标量曲率 $$R$$ 在 $$p$$ 处控制小测地球体 $$B_p(r)$$ 的体积如何偏离欧几里得体积。具体来说， $\mathrm{vol}(B_p(r)) = \omega_n r^n(1 - \frac{R(p)}{6(n+2)}r^2 + O(r^4))$ 。因此，正标量曲率意味着小球体的体积小于欧几里得体积（空间“包裹”）；负标量曲率意味着更大的体积（空间“扩展”）。因子 $$1/6(n+2)$$ 来自法坐标中的 Taylor 展开，这给出了曲率公式。

黎曼张量的分解#

Riemann 张量分成三块——标量曲率部分（迹的迹）、Ricci 部分（迹）、Weyl 部分（无迹）——是一个特别有启发的代数事实。标量和 Ricci 部分都可以从 Ricci 张量本身重建，所以它们携带的信息都已经被 Ricci 编码。剩下的 Weyl 部分则是’Ricci 看不见的曲率’。在四维爱因斯坦场方程里，Ricci 等于物质场（带上常数因子），所以 Ricci 由物质决定；Weyl 是’真空中的引力波部分’——是引力本身的自由度，独立于局部物质。这种’有物质的部分 vs 真空的部分’的分解是广义相对论几何理解的核心。

R = W + \tilde{\mathrm{Ric}} + R_{\mathrm{scalar}},

其中：

$$W$$ 是 韦尔张量， $$R$$ 的无迹、共形不变部分。当且仅当流形共形平坦时消失。
$\tilde{\mathrm{Ric}}$ 是 无迹里奇 部分：由 $\mathrm{Ric} - \frac{R}{n}g$ 构建的张量。
$R_{\mathrm{scalar}}$ 是由标量曲率单独构建的部分。

在二维和三维中，韦尔张量恒为零 —— “没有足够的空间”容纳非平凡的共形不变部分。因此：

二维： $$R$$ 仅由标量曲率 $$R$$ 决定（一个分量）。
三维： $$R$$ 仅由里奇决定（六个分量 —— 里奇在三维中有六个分量，与黎曼相同）。
四维及以上： $$R$$ 有韦尔、里奇和标量贡献 —— 韦尔携带里奇未捕捉的信息。

爱因斯坦真空方程 $\mathrm{Ric} = 0$ 消除了里奇和标量部分，但留下了 $$W$$ 。因此，引力波和 Schwarzschild-Kerr 场由韦尔张量编码 —— 真正的“自由”引力自由度。

韦尔张量在 $g \mapsto e^{2\sigma}g$ 下共形不变，即其共形类保持不变。这使其成为共形几何、扭量理论和某些广义相对论方法的自然对象。

在洛伦兹四维几何中，韦尔张量可以细化为类型 I（一般）、II、D（Schwarzschild, Kerr）、III、N（引力波）、O（消失）。这种代数分类是理解爱因斯坦方程精确解的主要工具之一。类型 D 解（包括 Schwarzschild 和 Kerr 黑洞）是“代数特殊”的精确解，韦尔张量类型告诉了你很多关于几何对称性的信息。

分解 $R = W + \tilde{\mathrm{Ric}} + R_{\text{scalar}}$ 在曲率张量空间的自然内积下是正交的。因此 $|R|^2 = |W|^2 + |\tilde{\mathrm{Ric}}|^2 + |R_{\text{scalar}}|^2$ ，积分 $\int |R|^2$ 分解为三个积分之和。在四维中，Gauss-Bonnet-Chern 定理说 $\int(|W|^2 - 2|\tilde{\mathrm{Ric}}|^2 + R^2/3)\,dV = 32\pi^2\chi(M)$ —— 这是二维 Gauss-Bonnet 的推广，也是早期如何在更高维度中曲率范数积分编码拓扑信息的例子之一。

为什么要分解？分解 $R = W + \tilde{\mathrm{Ric}} + R_{\mathrm{scalar}}$ 是黎曼张量在结构群 $\mathrm{O}(n)$ 作用下曲率类张量空间的不可约表示上的正交投影。这是“在结构群下不可约分解”的更大故事的一部分，这是如何在任何几何设置中组织张量场的方法（Newton-Cartan, Galilean, Lorentzian, Hermitian）。每个不可约部分携带不同的几何内容，涉及曲率的方程自然分离为“迹部分”（里奇、标量）和“无迹部分”（韦尔）。

常曲率空间#

为什么常曲率空间这么特殊？因为它们是几何里最’对称’的对象——任何一点跟任何其他点都没区别，任何一个方向跟任何其他方向都没区别。这种最大对称性下，几何被几个标量参数完全决定。一个常用的事实：每一维上恰好有三类常曲率空间（对应正、零、负曲率）：球面 $$S^n$$ 、欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 、双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 。从 19 世纪欧式几何与非欧几何的争论开始，到 20 世纪 Thurston 几何化猜想（每个三维流形可以分解成八种几何之一），常曲率空间一直是几何的’参考系’。如果你想分类某个流形，第一件事就是问’它能不能装上常曲率度量？'

黎曼流形具有 常截面曲率 $\kappa$ 如果每个点的每个二维平面的 $K(\Pi) = \kappa$ 。单连通完备的例子称为模型空间：

球面 $S^n_\kappa$ 对于 $\kappa > 0$ ：半径为 $1/\sqrt\kappa$ 的 $$n$$ -球。紧致，等距群 $\mathrm{O}(n+1)$ 。
欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 对于 $\kappa = 0$ 。非紧致，等距群 $\mathrm{Iso}(\mathbb{R}^n) = \mathbb{R}^n \rtimes \mathrm{O}(n)$ 。
双曲空间 $\mathbb{H}^n_\kappa$ 对于 $\kappa < 0$ ： $$n$$ 维双曲空间。非紧致，等距群 $\mathrm{O}^+(n, 1)$ 。

每个常截面曲率的完备黎曼流形都是模型空间被离散等距群自由且适当不连续作用的商。因此：

常 $$K = 1$$ ： $S^n / \Gamma$ 对于 $\Gamma \subset \mathrm{O}(n+1)$ 。
常 $$K = 0$$ ： $\mathbb{R}^n / \Gamma$ —— 这些是平坦流形。Bieberbach 定理在每个维度中对它们进行了分类。
常 $$K = -1$$ ： $\mathbb{H}^n / \Gamma$ —— 双曲流形。根据 Mostow 刚性（在 $n \geq 3$ 中），这个格 $\Gamma$ 由流形的同伦型唯一确定。因此，维度 $\geq 3$ 中的双曲几何在强意义上是刚性的。

举个例子。

$\mathbb{RP}^n = S^n / (\mathbb{Z}/2)$ ：常 $$K = 1$$ 。
平坦环面 $T^n = \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$ ：常 $$K = 0$$ 。
亏格为 2 的曲面允许常 $$K = -1$$ 的度量（均匀化）。
透镜空间 $L(p, q) = S^3 / \mathbb{Z}_p$ ：在三维中常 $$K = 1$$ 。
Klein 瓶：允许平坦度量（常 $$K = 0$$ ）。

单连通完备黎曼 $$n$$ -流形，若 $1/4 < K \leq 1$ ，则同胚于 $$S^n$$ （Brendle-Schoen, 2008，取代了旧的 Berger-Klingenberg “拓扑”版本）。更强的微分版本（微分同胚于标准球面）现在也已知。这是最深的曲率夹紧定理之一。

黎曼流形是局部对称的，如果其黎曼张量是平行的： $\nabla R = 0$ 。Cartan 分类了单连通完备局部对称空间 —— 它们要么是常曲率空间的乘积，要么是对称空间，即李群与其闭子群的商，满足某些条件。对称空间包括所有 Grassmannians、所有配备双不变度量的经典李群，以及紧凑和非紧凑“类型”之间的对偶（例如， $S^n \leftrightarrow \mathbb{H}^n$ 通过李代数的复化）。Cartan 的分类是几何李理论的基础。

一个著名的结论：如果 $$M_1, M_2$$ 是完备有限体积的双曲 3-流形（常 $$K = -1$$ ）且具有相同的基群，则它们是等距的。因此，在维度 $\geq 3$ 中，双曲几何是刚性的 —— 同伦型决定了度量。这与二维形成了鲜明对比，其中固定亏格的黎曼曲面形成模空间（Teichmüller 空间）。Mostow 刚性是双曲 3-流形在现代拓扑和几何群论中占据中心地位的关键原因之一。

在二维中，固定亏格的双曲黎曼曲面形成 Teichmüller 空间，这是一个 $$(6g-6)$$ 维模空间；可以在保持亏格和常曲率条件的同时，在许多方向上连续变形双曲曲面。在三维中，所有这些模态都坍缩为一个点：闭双曲 3-流形由其基群唯一确定。这种维度跳跃，从无限维模态到零维模态，是使三维拓扑成为一个独特丰富的主题，并推动了 1970 年代至 2010 年代低维几何研究的现象。Thurston 几何化纲领 —— 由 Perelman 在 2003 年证明 —— 通过几何块对所有闭 3-流形进行分类，双曲几何是最常见的构建块。

爱因斯坦流形#

黎曼流形是爱因斯坦的，如果 $\mathrm{Ric} = \lambda g$ 对某个常数 $\lambda$ 成立。迹给出 $R = n\lambda$ ，因此 $\lambda = R/n$ 且条件等价于 $\mathrm{Ric} = (R/n)g$ 。在分量中： $R_{ij} = (R/n)g_{ij}$ —— 里奇与度量成比例。

举个例子。

所有常截面曲率空间都是爱因斯坦的， $\lambda = (n-1)\kappa$ 。
$S^2 \times S^2$ 与圆度量的乘积是爱因斯坦的。
Calabi-Yau 流形是 Ricci-flat（ $\lambda = 0$ ）爱因斯坦的。
Schwarzschild 和 Kerr（洛伦兹）是 Ricci-flat 爱因斯坦的。

爱因斯坦度量是 $g \mapsto \int_M R\,\mathrm{vol}_g$ 在固定体积子流形上的临界点。因此，爱因斯坦度量是最简单的曲率泛函的变分不动点。这既是几何原因也是物理原因，它们经常出现。

在小变动 $g \mapsto g + h$ 下，标量曲率变化为 $\delta R = -h^{ij}R_{ij} + \nabla^i\nabla^j h_{ij} - \Delta(g^{ij}h_{ij})$ 。体积形式变化为 $\delta(\mathrm{vol}_g) = \frac{1}{2}g^{ij}h_{ij}\,\mathrm{vol}_g$ 。将这些结合起来并通过部分积分，散度项消失（边界为空的 $$M$$ ），留下 $\delta\int R\,\mathrm{vol}_g = \int (-R^{ij} + \frac{1}{2}R g^{ij}) h_{ij}\,\mathrm{vol}_g$ 。对于所有 $$h$$ 设置此等于零给出 $R^{ij} - \frac{1}{2}R g^{ij} = 0$ ，即真空爱因斯坦方程。因此，“里奇与度量成比例”的代数条件正是最简单几何作用的 Euler-Lagrange 方程。

\text{常截面曲率} \implies \text{爱因斯坦} \implies \text{常标量曲率}.

在维度 $\geq 4$ 中，这些蕴含是严格的：存在不是常截面曲率的爱因斯坦流形（ $S^2 \times S^2$ ），以及不是爱因斯坦的常标量曲率流形。

乘积度量 $g = g_1 \oplus g_2$ ，每个因子是半径为 1 的圆。乘积的里奇张量是因子里奇张量的直和。因为每个因子都有 $\mathrm{Ric}_i = g_i$ ，我们在乘积上得到 $\mathrm{Ric} = g_1 \oplus g_2 = g$ 。因此 $S^2 \times S^2$ 是爱因斯坦的， $\lambda = 1$ 。但它不是常截面曲率：混合两个因子的二维平面的截面曲率为 0，而位于一个因子内的二维平面的截面曲率为 1。混合平面给出 0，“纯”平面给出 1。

四维流形 $S^2 \times S^2$ 是爱因斯坦的，其 $\mathrm{Ric}$ 与 $$g$$ 成比例，但不同二维平面上的曲率分布高度不均匀。这就是为什么各种曲率不变量（黎曼、截面、里奇、标量）不是多余的：不同的物理或几何问题对曲率张量的不同部分敏感。宇宙学观测关心里奇（因为爱因斯坦方程涉及里奇）；引力波物理学关心韦尔（因为波是曲率的无迹、无源部分）；研究特定方向上的测地线收敛关心该方向上的截面曲率。分解不仅仅是记账；它是几何数据分解成物理上不同的部分的自然方式。

爱因斯坦流形是广义相对论的“基态”：最简单的里奇张量结构。在超对称弦紧化中，Calabi-Yau 流形（Ricci-flat 爱因斯坦）扮演着重要角色，因为它们的几何允许超对称在紧化中存活。在微分几何中，爱因斯坦度量是各种热流（Ricci 流、Calabi 流）的自然目标 —— 几何演化方程，这些方程将度量平滑到爱因斯坦条件，Perelman 解决庞加莱猜想是最著名应用。

每个光滑流形是否都允许爱因斯坦度量？在二维中，是的 —— 均匀化定理给出常曲率（因此是爱因斯坦）度量。在三维中，每个闭爱因斯坦度量都是常曲率（一个定理），因此问题归结为“流形是否允许常曲率度量？” —— Thurston 的几何化告诉你何时成立。在维度 $\geq 4$ 中，这个问题很难且大部分是开放的：LeBrun 的研究中，它们的交形式阻碍了存在性。在维度 $\geq 5$ 时，阻碍来自代数拓扑（有理同伦、边不变量），这个问题很大程度上仍然开放。

实际操作中，调试计算出的度量时（例如解爱因斯坦方程或处理一个候选的卡拉比-丘流形），通常先计算标量曲率，检查其是否有限且无奇点，再计算里奇曲率，最后才是完整的黎曼张量。这种层次结构能让你在最简单的层面发现错误。

下一步#

已经构建了曲率工具：黎曼张量、截面曲率、里奇曲率和标量曲率，Weyl 分解，常曲率分类，爱因斯坦流形。下一篇文章将把这些概念推广到纤维丛——这是物理中规范理论的自然背景。主丛上的联络推广了 Levi-Civita 联络；它们的曲率 2 形式推广了黎曼张量；特征类（Chern、Pontryagin、Euler）通过积分这些给出拓扑不变量；Yang-Mills 理论是联络的变分问题。

本文的关键思想：

黎曼曲率张量 $$R(X, Y)Z$$ 编码所有内禀曲率；它有 $$n^2(n^2-1)/12$$ 个独立分量。
截面曲率 $K(\Pi)$ 是每 2 平面上的一个标量；它是最直接的几何量；常数 $$K$$ 描述了模型空间。
里奇曲率 $\mathrm{Ric}$ 是 $$R$$ 的缩并；它控制体积比较，并出现在爱因斯坦方程中。
标量曲率 $$R$$ 是进一步的迹；它是每点的一个数值，是广义相对论（Hilbert 作用量）的变分源。
Weyl 张量是 $$R$$ 的共形不变、无迹部分；它携带引力自由度。
常曲率空间按等距分类为模型空间 $S^n, \mathbb{R}^n, \mathbb{H}^n$ 的商空间。
爱因斯坦流形满足 $\mathrm{Ric} \propto g$ ；它们是 Hilbert 作用量的临界点。

曲率是整个微分几何序列的概念终点。从空间中的曲线开始，曲率是一个衡量曲线弯曲程度的单个数值。扩展到曲面时，曲率变成了形状算子。Theorema Egregium 表明高斯曲率是内禀的。Gauss-Bonnet 定理表明它可以积分成拓扑不变量。然后进入抽象流形，重建没有嵌入空间的工具。现在，曲率本身成为核心对象——黎曼张量编码了所有内禀曲率。