线性代数（三）：矩阵作为线性变换

核心思想#

翻开一本传统教材，矩阵通常被描述为“数字排成的矩形阵列”。你会学到如何加法、乘法甚至求逆，但没人告诉你为什么乘法规则是这样设计的，也没人解释为什么 $AB$ 通常不等于 $BA$ 。

符号运算掩盖了一个简单而深刻的真相。

矩阵是一个改变空间的函数。

每个 $m \times n$ 的矩阵就像一台机器：输入一个 $n$ 维向量，输出一个 $m$ 维向量。一旦你理解了这一点，那些看似奇怪的规则就不再神秘了——它们不过是记录基向量变化的方式而已。

本章内容包括：

• 定义线性变换，并揭示其几何特征；
• 说明“一个矩阵完全由它对基向量的作用决定”；
• 构建一个直观图库，展示旋转、缩放、剪切、反射和投影的效果；
• 推导出“矩阵乘法就是变换的复合”，从而自然解释非交换性；
• 讨论逆矩阵（撤销变换）、核与像，以及矩阵奇异时的情况。

前置知识：第 1 章 （向量、加法、数乘）和第 2 章 （线性无关、基、张成空间）。

矩阵是一个函数#

输入一个向量，输出一个向量。这一章的任务就是讲清楚这种函数到底能干什么。

复印机类比： 把复印机的缩放比例调到 150%，原稿上的每个点都会被映射到离中心 1.5 倍远的位置。这就是一种特定的变换——均匀缩放。矩阵可以表示更多类似的“几何机器”，如旋转、剪切、反射、投影及其各种组合。

什么样的函数才算“线性”？#

这两条代数规则在几何上有一个很直观的表现，通过观察整数网格的变形就能明白。

线性变换可以对上面这张图做任何操作，但必须遵守以下规则：

• 原点不动： $T(\vec{0}) = \vec{0}$ （把 $c=0$ 代入数乘规则就能证明）。
• 直线还是直线： 不允许弯曲。
• 平行线仍然平行，间距保持均匀。 变形后的网格仍然是网格——可能歪了、拉长了，甚至压扁了，但每个格子还是同形状的平行四边形。

橡皮膜类比： 想象这张图画在一块钉在原点的橡皮膜上。你可以拉伸、旋转、剪切，甚至压平，但不能撕开或折叠。能做到的就是线性变换；做不到的（撕开、折叠）就不是。

不属于线性变换的例子#

知道哪些变换不是线性变换同样重要：

• 平移： $T(\vec{v}) = \vec{v} + \vec{b}$ 把原点挪走了，违反了 $T(\vec{0}) = \vec{0}$ 。它是仿射变换，不是线性变换。（后面我会用齐次坐标把它“救回来”。）
• 弯曲： 把直线变成曲线的变换。
• 平方或分量乘积： 比如 $T(x, y) = (x^{2}, y)$ 或 $T(x, y) = (xy, y)$ ，破坏了加法保持性。

核心洞见：列就是基向量的落点#

这是本章最重要的一句话，建议读两遍：

矩阵完全由它如何变换基向量决定。矩阵的列正好是这些基向量的落点。

右边可以看作一个配方：矩阵乘向量就是用 $\vec{v}$ 的分量对矩阵的列做加权求和。一旦理解了这一点，我就不再需要死记硬背公式，而是直接“读”出结果。

示例#

不需要背公式，直接记住“3 倍第一列加 2 倍第二列”就够了。

二维变换图谱#

为了更直观地理解，我用同一种方式展示五种变换：左边是原始单位网格，右边是变形后的网格。$\hat{\imath}$ 用蓝色标记，$\hat{\jmath}$ 用紫色标记，绿色的单位正方形用来观察面积变化。

旋转#

几个常用角度值得记住：

游戏开发小贴士： 在 2D 游戏中，每次按下“左转”键，玩家的方向向量都会乘以 $R_{\Delta\theta}$ 。旋转保持长度和角度不变，所以角色转身时不会拉伸变形。

缩放#

单位正方形变成 $s_{x} \times s_{y}$ 的矩形，面积扩大了 $s_{x}s_{y}$ 倍。这个乘积就是行列式——下一章的核心内容。

Photoshop 中调整图像大小的操作本质上就是这个：每个像素坐标都乘以一个对角矩阵 $S$ 。

剪切#

变换后，$x$ 坐标变为 $x + ky$ ：点的位置越高，推得越远。斜体字就是典型例子——字母底部固定，顶部倾斜。风吹高草则是垂直方向的剪切。

注意 $\det H = 1$ ：剪切不会改变面积，尽管形状被扭曲得很厉害。

反射#

反射就是翻转某个方向，矩阵依然回答“基向量去哪了”这个问题：

反射的行列式为 $-1$ ：面积不变，但方向反转（右手系变成左手系）。这个负号正是反射与旋转的本质区别。

投影#

整个二维平面被压缩成一条一维直线。这就像正午阳光下的阴影投影。更一般地，在原点穿过、方向为单位向量 $\vec{u}$ 的直线上投影，对应矩阵 $P = \vec{u}\vec{u}^{\!\top}$ 。

投影是第一种会丢失信息的变换：$(1, 2)$ 和 $(1, 99)$ 都被投影到 $(1, 0)$ 。这种不可逆性正是它的特点——后面我们会用奇异矩阵进一步解释这种现象。

小结表#

矩阵乘法 = 变换的复合#

终于可以解释矩阵乘法的规则了。

这不是需要证明的定理，而是矩阵乘法的设计目标。至于那套“行乘列”的奇怪规则，其实只是当你一步步推导“$\hat{\imath}$ 经过 $A$ 和 $B$ 后跑到哪里”时自然得出的结果。

从右往左读的规则： 在表达式 $CBA\vec{v}$ 中，最右边的矩阵最先起作用。读的时候要记住：“先 $A$ ，再 $B$ ，最后 $C$ 。” 这和日常语言的顺序相反，也是图形学代码中 bug 的常见来源——所以每次写这种表达式时，我都会在心里默念一遍。

为什么顺序重要：看图说话#

设 $A = R_{45^{\circ}}$ （逆时针旋转 45 度），$B = \operatorname{diag}(2, 1)$ （沿 $x$ 方向拉伸 2 倍）。先 $A$ 后 $B$ ：

第三幅图可以从三个角度理解，结果完全一致：

1. 几何上： 先把单位正方形转 45 度，再横向拉伸。
2. 代数上： $BA = \begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}$ 。
3. 从列看： $BA$ 的第一列是 $B$ 作用在 $A$ 的第一列上，也就是 $B$ 作用在 $A\hat{\imath}$ 上——也就是 $\hat{\imath}$ 经过两次变换后的最终位置。第二列同理。

几何上：先把正方形拉成宽长方形再旋转，得到的平行四边形和“先转再拉”完全不同。矩阵乘法不交换，因为变换的复合本身就不交换。 故事讲完了。

结合律的实际意义#

矩阵乘法满足结合律：$(AB)C = A(BC)$ 。这不只是代数上的小性质，而是让 3D 图形渲染变快的关键。

如果有一百万个顶点，千万别对每个顶点分别做 $S$ 、$R$ 、$T$ （那样要做 300 万次矩阵-向量乘法）。正确做法是先算出 $M$ ，然后对每个顶点只做一次 $M\vec{v}$ ——速度提升三倍，数值稳定性也更好。 GPU 的渲染管线就是基于这个原理设计的。

单位矩阵与逆矩阵：什么都不做，以及撤销操作#

单位矩阵#

从几何上看，变换前后的网格完全一样：

单位矩阵满足 $IA = AI = A$ ，对任何矩阵 $A$ 都成立。它就像数字世界里的“1”。

逆矩阵#

从几何角度想，下面这些例子都很直观：

• $R_{\theta}^{-1} = R_{-\theta}$ （反方向再转一次就回来了）。
• $\operatorname{diag}(s_{x}, s_{y})^{-1} = \operatorname{diag}(1/s_{x}, 1/s_{y})$ ，前提是两个缩放因子都不为零。
• 反射变换的逆就是它自己——反射两次就回到起点。

什么时候存在逆？#

不是所有变换都能被撤销。比如投影会把 $y$ 方向的信息丢掉，任何丢失维度的变换都无法逆转。$(1, 2)$ 和 $(1, 5)$ 投影后都变成 $(1, 0)$ ，只看 $(1, 0)$ 根本无法还原原来的 $y$ 值。

判断是否可逆的标准很简单——我们会在第 4 章 详细讨论——就是：

$A$ 可逆 $\iff$ $A$ 不会压缩任何维度 $\iff$ $\det(A) \neq 0$ 。

$2 \times 2$ 逆矩阵公式#

你可以试着把它和 $A$ 相乘，结果一定是单位矩阵 $I$ 。建议动手验证一下。

奇异矩阵：平面坍塌的时刻#

第二行是第一行的两倍，第二列也是第一列的两倍。代数上看，$\det(S) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$ 。几何上呢？

平面上的所有点都被映射到同一条直线 $y = 2x$ 上——也就是由列向量 $(1, 2)$ 张成的那条线。单位正方形被压缩成一段零面积的线段。图中橙色的网格线全都重叠在这条直线上，因为所有输入都被映射到了这条线上。

这就是一个奇异矩阵（不可逆矩阵）。接下来我给两个重要的子空间起个名字。

核：被压缩为零的方向#

对于上面的 $S$ ，所有形如 $\vec{v} = t\,(2, -1)$ 的向量都满足 $S\vec{v} = \vec{0}$ ——这正是图中那条灰色虚线标出的“核方向”。这个核是一条 1 维直线。

直观理解：核就是矩阵消灭掉的方向。一个矩阵可逆的充要条件是它的核只包含零向量。

像：能到达的所有输出#

对 $S$ 来说，像就是直线 $y = 2x$ 。它也叫列空间，因为它正好是矩阵各列张成的子空间。$S$ 的两列分别是 $(1, 2)$ 和 $(2, 4)$ ，它们都在同一条直线上，所以只能张成一条直线，而不是整个平面。

秩-零化度定理#

其中 $n$ 是输入空间的维数。简单说：矩阵每压扁一维（核多一维），输出就少一维（像少一维）。对我们的 $S$ 来说，$1 + 1 = 2$ 。第 5 章 讨论线性方程组时还会再见到这个公式。

三维及更高维度的变换#

所有概念都能自然推广。在 $\mathbb{R}^{3}$ 中，线性变换用一个 $3 \times 3$ 矩阵表示，矩阵的三列分别是基向量 $\hat{\imath}$ 、$\hat{\jmath}$ 、$\hat{k}$ 变换后的位置。

这个三维投影是前面提到的奇异矩阵在高维空间的对应形式。它把三维空间压缩到二维平面，因此 $\det = 0$ ，无法逆变换。

Python：可视化变换#

本章所有图片的生成脚本都在 scripts/figures/linear-algebra/03-matrices-as-linear-transformations.py。它的核心思路很简单，就是一个函数，用来展示矩阵对单位正方形的作用：

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def plot_transform(A, title="变换"):
    """画出矩阵 A 对单位正方形的变换效果"""
    square = np.array([[0, 0], [1, 0], [1, 1], [0, 1], [0, 0]]).T  # 2 x 5
    transformed = A @ square                                       # 核心代码

    fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 5))
    for ax, shape, label, color in [
        (axes[0], square,      "变换前",                          "#2563eb"),
        (axes[1], transformed, f"变换后 (det={np.linalg.det(A):.2f})", "#10b981"),
    ]:
        ax.fill(shape[0], shape[1], alpha=0.3, color=color)
        ax.plot(shape[0], shape[1], color=color, linewidth=2)
        ax.set_xlim(-3, 3); ax.set_ylim(-3, 3)
        ax.set_aspect("equal"); ax.grid(True, alpha=0.3)
        ax.set_title(label)
    plt.suptitle(title); plt.tight_layout(); plt.show()

plot_transform(np.array([[2,   0],   [0,   1.5]]), "缩放")
plot_transform(np.array([[1,   0.5], [0,   1  ]]), "剪切")
plot_transform(np.array([[-1,  0],   [0,   1  ]]), "关于 y 轴反射")
plot_transform(np.array([[1,   2],   [2,   4  ]]), "奇异矩阵：压成一条直线")

一个简单的 2D 游戏变换类#

游戏引擎用齐次坐标把缩放、旋转和平移合并到一个矩阵里。二维点 $(x, y)$ 被存为 $(x, y, 1)$ ，这样单个 $3 \times 3$ 矩阵就能同时处理平移：

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33

import numpy as np

class Transform2D:
    """把缩放、旋转和平移合成为一个 3x3 矩阵"""

    def __init__(self):
        self.position = np.array([0.0, 0.0])
        self.rotation = 0.0           # 弧度
        self.scale    = np.array([1.0, 1.0])

    def matrix(self) -> np.ndarray:
        c, s = np.cos(self.rotation), np.sin(self.rotation)
        S = np.diag([self.scale[0], self.scale[1], 1.0])
        R = np.array([[c, -s, 0],
                      [s,  c, 0],
                      [0,  0, 1]])
        T = np.array([[1, 0, self.position[0]],
                      [0, 1, self.position[1]],
                      [0, 0, 1]])
        # 从右往左读：先缩放，再旋转，最后平移
        return T @ R @ S

    def apply(self, points: np.ndarray) -> np.ndarray:
        pts = np.asarray(points)
        homo = np.ones((3, len(pts)))
        homo[:2, :] = pts.T
        return (self.matrix() @ homo)[:2, :].T

t = Transform2D()
t.position = np.array([100.0, 50.0])
t.rotation = np.pi / 4               # 45 度
t.scale    = np.array([2.0, 1.5])
print(t.apply([[-1, -1], [1, -1], [1, 1], [-1, 1]]))

这就是 Unity、Unreal、Godot 等 3D 引擎常用的“TRS”模式（Translate × Rotate × Scale）。

常见问题#

平移是线性变换吗？#

不是。平移会移动原点，导致 $T(\vec{0}) \neq \vec{0}$ 。为了用矩阵表示平移，计算机图形学引入了齐次坐标：把二维点 $(x, y)$ 表示为三维向量 $(x, y, 1)$ ，然后用一个 $3 \times 3$ 矩阵将 $t_{x}$ 和 $t_{y}$ 加到前两个坐标上。虽然平移在 $\mathbb{R}^{2}$ 中不是线性变换，但在 $\mathbb{R}^{3}$ 中，如果限制在平面 $z = 1$ 上，它就是线性的。

矩阵乘法为什么定义得这么奇怪？#

因为它的规则是为了满足“矩阵乘积 = 变换复合”这个目标而设计的。从 $(BA)\vec{v} = B(A\vec{v})$ 这个要求出发，推导出每个元素的值，“行乘列”的公式自然就出来了。这不是随意定的，而是由几何需求决定的。

旋转矩阵有什么特别之处？#

旋转矩阵能保持长度和角度。代数上看，它满足 $R^{\!\top} R = I$ （正交矩阵），并且 $\det R = +1$ （保持方向，不翻转）。这两个性质共同定义了特殊正交群 $\mathrm{SO}(2)$ ，这也是所有流畅旋转动画背后的数学基础。

怎么快速判断一个矩阵是旋转、缩放、剪切还是投影？#

看行列式和列向量：

• $\det = +1$ 且列向量正交单位化 $\Rightarrow$ 旋转；
• $\det = -1$ 且列向量正交单位化 $\Rightarrow$ 反射；
• 列向量与坐标轴平行 $\Rightarrow$ 沿轴缩放；
• $\det = 0$ $\Rightarrow$ 奇异矩阵，降维了，没有逆；
• 其他情况通常是剪切、沿非轴方向的一般缩放，或者它们的组合。

总结#

记住一句话就够了：

矩阵是一种线性变换，它的列告诉你基向量被映射到了哪里。

其他内容都是从这句话延伸出来的：

• 矩阵乘以向量，就是用向量的分量对矩阵的列做加权求和。
• 矩阵相乘，就是变换的叠加，顺序是从右到左。
• 矩阵乘法不满足交换律，因为“先旋转再拉伸”和“先拉伸再旋转”在几何上完全不同。
• 单位矩阵什么都不改变；逆矩阵则会撤销原矩阵的操作。
• 如果一个矩阵把某个方向压缩成零（$\det = 0$ ），它就是奇异矩阵：被压缩的方向是核，剩下的部分是像（也就是列空间）。

为了更直观，我一直用二维空间来讲解。下一章我会引入行列式的概念，用来量化变换对空间的拉伸或压缩程度，并解释为什么 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ 。

下一步#

第 4 章 ：行列式的秘密。 行列式是一个数字，用来表示变换对体积的缩放比例。我会解释它在复合变换时为什么是相乘关系，符号变化为什么会反映方向反转，以及 $\det = 0$ 为什么正好对应我们刚刚讨论的奇异情况。