常微分方程（四）：拉普拉斯变换

拉普拉斯变换把微积分变成了代数。 不必再硬算积分、猜试解、再把初值条件一条条对上。它把整个 ODE — 方程、激励、初始条件 — 一并丢进复变量 $s$ 的一道多项式方程里，像解中学题一样解出来，再变换回去。沿途还有一份意外的礼物：解的形状被翻译成了几何 — 极点落在复平面左半边就衰减，落在右半边就发散，落在虚轴上就永不停歇地振荡。本章从定义出发把这套图像一砖一瓦搭起来，再连接到工程上把拉普拉斯变换变成动力学通用语的那几件工具：传递函数、Bode 图、PID 控制。

本章要点

定义，以及把 $e^{-st}$ 理解为"衰减探针"的直觉
微分性质 — 把 ODE 化为代数的关键
一张够用的小变换表，本章几乎所有反变换都查它
部分分式分解：实极点、重极点、复极点
传递函数、极零点图，以及稳定性的几何判据
阶跃响应与冲激响应：它们已经把整个系统说全了
Bode 图：时间域与频率域的两面镜子
PID 控制：P、I、D 各自补对方的短板

前置知识

第一至三章：一阶、二阶 ODE 与叠加原理
代数/微积分中的部分分式分解
复数的基础知识（$a + bi$、模、幅角）
熟悉 $\int_0^\infty e^{-st}\,dt$ 这一类积分

1. 为什么需要拉普拉斯变换

考虑由电压源驱动的 RC 电路：

$$RC\,V_c'(t) + V_c(t) = V_s(t), \qquad V_c(0) = V_0.$$

如果 $V_s$ 是常数，用积分因子两行就能写完。但只要 $V_s$ 变成开关式的阶跃、瞬时冲激、斜坡，或者实验台上信号源给的某段分段波形，初等方法就开始变得繁琐 — 一堆积分常数、分段拼接条件、各种讨论。

拉普拉斯变换给出一套统一的流程，把这些情况一次性收编：

变换等式两边 — 导数变成 $s$ 的多项式，初值条件被自动吸收。
对 $Y(s)$ 代数地求解。
用一张小表 反变换回 $y(t)$。

那些琐碎的记账工作消失了，剩下的是一种干净的分工：谁在驱动系统（输入的变换）、系统做了什么（传递函数）、它从哪里起步（初值条件，已经被编织进去了）。

拉普拉斯变换的基本组件：单位阶跃、Dirac 冲激、衰减探针 $e^{-st}$。

拉普拉斯变换是把信号 $f(t)$ 与探针 $e^{-st}$ 做积分。阶跃和冲激是本章贯穿始终的两种典型输入。

2. 定义与一张可工作的变换表

2.1 正变换

$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt.$$

直觉。 把 $e^{-st}$ 看成一根探针：对每个复频率 $s$，它问的是 — 如果我用一个以速率 $\operatorname{Re}(s)$ 衰减的指数去加权 $f$，还能剩下多少？ $s$ 取得很大且为正时，探针只看得见 $f$ 在 $t = 0$ 附近的行为；$\operatorname{Re}(s)$ 取得很小时，它看到的是远端的尾巴。完整的 $F(s)$ 就是把所有 $s$ 上的回答放在一起 — 这是 $f$ 的一份指纹。

2.2 一张够用的变换表

$f(t)$	$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$	收敛域
$1$（或 $u(t)$）	$1/s$	$\operatorname{Re}(s) > 0$
$t^n$	$n!/s^{n+1}$	$\operatorname{Re}(s) > 0$
$e^{at}$	$1/(s-a)$	$\operatorname{Re}(s) > a$
$\sin\omega t$	$\omega/(s^2+\omega^2)$	$\operatorname{Re}(s) > 0$
$\cos\omega t$	$s/(s^2+\omega^2)$	$\operatorname{Re}(s) > 0$
$e^{at}\sin\omega t$	$\omega/((s-a)^2+\omega^2)$	$\operatorname{Re}(s) > a$
$e^{at}\cos\omega t$	$(s-a)/((s-a)^2+\omega^2)$	$\operatorname{Re}(s) > a$
$\delta(t)$（冲激）	$1$	所有 $s$
$u(t-a)$（延迟阶跃）	$e^{-as}/s$	$\operatorname{Re}(s) > 0$

本章几乎所有的反变换问题都能用这张表解决。

2.3 从定义出发的两个推导

$\mathcal{L}\{1\}$。 直接积分：

$$\int_0^\infty e^{-st}\,dt = \left[-\frac{1}{s}\,e^{-st}\right]_0^\infty = \frac{1}{s}, \qquad \operatorname{Re}(s) > 0.$$

$\mathcal{L}\{e^{at}\}$。 先把指数合并再积分：

$$\int_0^\infty e^{at}\,e^{-st}\,dt = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}\,dt = \frac{1}{s-a}, \qquad \operatorname{Re}(s) > a.$$

同样的小技巧 — 把 $e^{at}$ 折进核里 — 也正是后面频移性质之所以显然的原因。

3. 真正在干活的几条性质

3.1 线性

$$\mathcal{L}\{a f + b g\} = a F(s) + b G(s).$$

3.2 微分性质 — 整个学科的钥匙

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0),$$$$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0),$$$$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - s^{n-1} f(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0).$$

为什么重要。 对 $t$ 求导变成对 $s$ 相乘，并且初值条件就写在公式里，不再是事后需要补对的边界条件。一个 $n$ 阶线性 ODE 直接化为一个关于 $s$ 的 $n$ 次代数方程，而这个方程已经知道 $y(0), y'(0), \dots$ 是什么了。

证明只需要分部积分一次：

$$\int_0^\infty f'(t)\,e^{-st}\,dt = \left[f(t)\,e^{-st}\right]_0^\infty + s\int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt = sF(s) - f(0),$$

前提是 $f(t)\,e^{-st}\to 0$ 当 $t\to\infty$ — 这正是收敛域的含义所在。

3.3 频移

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a).$$

时间域上乘 $e^{at}$，频域上整张图就被平移了 $a$。这正是为什么变换表里所有"带阻尼"的条目都只是其无阻尼对应物经过 $s\to s-a$ 替换得到的。

3.4 时移（延迟）

$$\mathcal{L}\{f(t-a)\,u(t-a)\} = e^{-as}F(s), \qquad a > 0.$$

时间上的延迟在 $s$ 域里就是一个相位因子 $e^{-as}$。注意要乘上闸门 $u(t-a)$ — 它保证你变换的是被延迟并且截掉头部的信号，而不是原信号。

3.5 卷积

$$\mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = F(s)\,G(s), \qquad (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.$$

时间域上 LTI 系统对输入的响应是一次卷积；到了 $s$ 域就只是相乘。这正是工程框图能成立的代数底座。

3.6 终值定理

$$\lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} sF(s),$$

成立的前提是该极限存在，并且 $sF(s)$ 的所有极点都严格落在左半平面。它能让你不做反变换就直接读出稳态值。

4. 求解 ODE：两个例子展示流程

4.1 一阶 + 指数激励

求解 $y' + 2y = e^{-t}$，$y(0) = 1$。

变换。 两边取 $\mathcal{L}$，套用微分性质：

$$sY(s) - 1 + 2Y(s) = \frac{1}{s+1}.$$

代数地求解。 合并整理：

$$(s+2)Y(s) = 1 + \frac{1}{s+1}, \qquad Y(s) = \frac{1}{s+2} + \frac{1}{(s+1)(s+2)}.$$

部分分式。 把 $\dfrac{1}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{1}{s+1} - \dfrac{1}{s+2}$ 代入：

$$Y(s) = \frac{1}{s+2} + \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2} = \frac{1}{s+1}.$$

反变换。 查表得 $\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\} = e^{-t}$。

$$\boxed{\; y(t) = e^{-t}.\;}$$

验证。 $y' + 2y = -e^{-t} + 2e^{-t} = e^{-t}$，且 $y(0) = 1$。完毕。

4.2 二阶共振

求解 $y'' + \omega_0^2\,y = \cos\omega_0 t$，$y(0) = y'(0) = 0$。

变换。 $\mathcal{L}\{y''\} = s^2 Y - sy(0) - y'(0)$，$\mathcal{L}\{\cos\omega_0 t\} = s/(s^2+\omega_0^2)$，得：

$$s^2 Y + \omega_0^2 Y = \frac{s}{s^2 + \omega_0^2}, \qquad Y(s) = \frac{s}{(s^2 + \omega_0^2)^2}.$$

反变换。 查表得：

$$y(t) = \frac{t}{2\omega_0}\,\sin\omega_0 t.$$

关键之处是这个显式的 $t$ 因子。代数上，它来自 $s = \pm j\omega_0$ 这一对重极点 — 一个更高重数的极点会在时间域里贡献"多项式 × 正弦"的项。物理上，它意味着振幅无界增长 — 这就是共振。

$Y(s)$ 中的重极点是共振的代数指纹：反变换会"长出"一个 $t$ 因子，响应随时间线性增长。

5. 部分分式：你真正需要的那一项技术

只要 $Y(s)$ 已经是一个有理函数，反变换的绝大部分工作就是把它拆成若干个能在表里查到的小块。

5.1 不同的实极点

$$\frac{P(s)}{(s-a)(s-b)} = \frac{A}{s-a} + \frac{B}{s-b}.$$

用遮盖法：$A$ 等于把 $(s-a)$ “盖住"之后剩下的 $P(s)/(s-b)$ 在 $s = a$ 处的取值。

5.2 重极点

$$\frac{P(s)}{(s-a)^3} = \frac{A_1}{s-a} + \frac{A_2}{(s-a)^2} + \frac{A_3}{(s-a)^3}.$$

每一个重数为 $k$ 的极点，在时间域里贡献一项形如 $t^{k-1}\,e^{at}/(k-1)!$ 的项。

5.3 共轭复极点

对于不可约的二次因子，先配方：

$$\frac{B s + C}{(s-\alpha)^2 + \beta^2}\;\xrightarrow{\;\mathcal{L}^{-1}\;}\; e^{\alpha t}\big(B \cos\beta t + D \sin\beta t\big),$$

其中 $D = (C + \alpha B)/\beta$ — 把分子先改写为 $B(s-\alpha) + (C + \alpha B)$ 即可。

反变换看作模式之和：把 $F(s)$ 拆成可查表的小块，再把时间域的分量加起来。

$Y(s) = \dfrac{3s+5}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{2}{s+1} + \dfrac{1}{s+2}$，所以 $y(t) = 2 e^{-t} + e^{-2t}$。每一个极点贡献一个模式，再线性叠加。

6. 传递函数与稳定性的几何

6.1 定义

对一个把输入 $u(t)$ 映射到输出 $y(t)$ 的线性时不变（LTI）系统，定义

$$H(s) \;=\; \frac{Y(s)}{U(s)}\quad\text{（零初始条件下）}.$$

$H(s)$ 就是传递函数。它只和系统本身有关，与你喂进去什么、它从哪里起步无关。

例 — RC 低通滤波器。 由 $RC\,V_c' + V_c = V_s$ 和 $V_c(0) = 0$，

$$H(s) = \frac{1}{RCs + 1} = \frac{1}{\tau s + 1}, \qquad \tau = RC.$$

只有一个实极点，位于 $s = -1/\tau$。

6.2 极点、零点与稳定性

零点是使 $H(s) = 0$ 的 $s$（分子的根）。
极点是使 $H(s) \to \infty$ 的 $s$（分母的根）。

极点图决定了关于自由响应的一切。每一个极点在 $\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$ 里贡献一个模式：

极点位置	时间域模式	行为
实数，$s = -a$，$a > 0$	$e^{-at}$	衰减到零
实数，$s = a > 0$	$e^{at}$	无界增长 — 不稳定
复数对 $\alpha \pm j\beta$，$\alpha < 0$	$e^{\alpha t}(\cos\beta t,\sin\beta t)$	阻尼振荡
纯虚 $\pm j\beta$	$\cos\beta t,\,\sin\beta t$	等幅振荡
复数对，$\alpha > 0$	$e^{\alpha t}(\cos\beta t,\sin\beta t)$	增长振荡 — 不稳定

稳定性的几何判据。 系统是渐近稳定的，当且仅当 $H(s)$ 的所有极点严格落在左半平面 $\operatorname{Re}(s) < 0$。

极点的实部决定衰减速率，虚部决定振荡频率。稳定性问题不过是"极点是否落在左半平面”。

6.3 阶跃响应与冲激响应

两类典型激励都有自己的名字。

冲激响应。 $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$ — 输入是 Dirac 冲激时的输出。
阶跃响应。 $s(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)/s\}$ — 输入是单位阶跃时的输出。
关系。 $h(t) = s'(t)$。两者编码同样多的信息，因为阶跃就是冲激的积分。

只要拿到了 $h(t)$，对任何输入的响应都是卷积 $y(t) = (h * u)(t)$；等价地，$Y(s) = H(s)\,U(s)$。

7. 同一个系统的两扇窗：时间与频率

把 $s = j\omega$ 代回 $H(s)$，得到频率响应 $H(j\omega)$。$|H(j\omega)|$ 告诉你每个正弦频率被放大多少；$\arg H(j\omega)$ 告诉你被延迟多少。在对数–对数坐标上画出来，就是 Bode 图。

对二阶规范系统

$$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2},$$

阻尼比 $\zeta$ 控制着一切。$\zeta < 1$ 时极点是复数，阶跃响应有超调和振铃；$\zeta = 1$ 时它们汇合到 $-\omega_n$ 的二重实极点，响应在不超调的前提下尽可能快地上升；$\zeta > 1$ 时极点在实轴上分开，响应变得迟钝。

三种视角，同一个系统。时域的超调、频域的峰值、复平面上的极点位置 — 都是同一个无量纲数 $\zeta$ 的不同侧影。

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from scipy import signal
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# H(s) = 1 / (s^2 + 0.5 s + 1) 欠阻尼二阶系统
sys = signal.TransferFunction([1.0], [1.0, 0.5, 1.0])

t, y = signal.step(sys)
w, mag, phase = signal.bode(sys)

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 3.5))
axes[0].plot(t, y);            axes[0].set_title("阶跃响应")
axes[1].semilogx(w, mag);      axes[1].set_title("Bode 幅频 (dB)")
axes[2].semilogx(w, phase);    axes[2].set_title("Bode 相频 (deg)")
for ax in axes: ax.grid(True, alpha=0.3, which="both")
plt.tight_layout()

8. PID 控制：每一项都在补另一项的短

PID 控制器是工业控制的主力。它根据跟踪误差 $e(t) = r(t) - y(t)$ 给出执行量 $u(t)$：

$$u(t) = K_p\,e(t) + K_i\!\int_0^t e(\tau)\,d\tau + K_d\,\frac{de}{dt}.$$

在 $s$ 域里，

$$C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d\,s.$$

每一项都在弥补另外两项的特定弱点。

项	在做什么	长处	短处
P（比例）	响应当前误差	反应快	留下稳态误差
I（积分）	累积过去的误差	把稳态误差驱到零	拖慢系统、可能引起振荡
D（微分）	预测误差走向	抑制超调	放大测量噪声

把 PID 围在被控对象 $G(s)$ 外面闭环，得到

$$T(s) = \frac{C(s)\,G(s)}{1 + C(s)\,G(s)}.$$

调节 $K_p, K_i, K_d$ 就是在 $s$ 平面上挪动闭环极点。这门手艺的目标是把它们推得离左半平面深处足够远（保稳定、保速度），又不让虚部过大（避免振铃）。

P-only、PI、整定后的 PID 三种控制器在同一个轻阻尼二阶被控对象上的闭环阶跃响应。

P 单干会留下稳态偏差。加上 I 偏差消除了，但系统变慢、超调变大。再加上 D 把超调压下去，整定后的 PID 很快就稳定地落进 $\pm 5\%$ 的带子里。

9. Python 实践：符号与数值

9.1 用 SymPy 做符号变换

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from sympy import (symbols, laplace_transform, inverse_laplace_transform,
                   exp, sin, apart)

s, t = symbols("s t")
a, omega = symbols("a omega", positive=True)

print("L{1}        =", laplace_transform(1, t, s))
print("L{exp(-at)} =", laplace_transform(exp(-a*t), t, s))
print("L{sin(wt)}  =", laplace_transform(sin(omega*t), t, s))

F = (3*s + 5) / ((s + 1) * (s + 2))
print("partial fractions:", apart(F, s))
print("L^{-1}{F}        =", inverse_laplace_transform(F, s, t))

9.2 用 SciPy 做极零点分析

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import numpy as np
from scipy import signal

# H(s) = (s + 2) / (s^2 + 3 s + 2)
sys = signal.TransferFunction([1, 2], [1, 3, 2])

poles = np.roots([1, 3, 2])
zeros = np.roots([1, 2])
stable = all(p.real < 0 for p in poles)

print(f"poles  = {poles}")
print(f"zeros  = {zeros}")
print(f"stable = {stable}")

10. 总结

五步工作流

变换等式两边，把初值条件吸收进去。
代数地求解 $Y(s)$。
部分分式分解。
对照表逐项反变换。
代回原方程验证。

一定要记住的几条性质

性质	公式	用在哪里
微分	$\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$	把 ODE 化为代数
频移	$\mathcal{L}\{e^{at}f\} = F(s-a)$	阻尼振子、指数激励
时移	$\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)$	延迟、开关式输入
卷积	$\mathcal{L}\{f * g\} = F(s)\,G(s)$	框图、系统响应
终值	$\lim_{t\to\infty} f = \lim_{s\to 0} sF(s)$	不做反变换就读稳态

一句话总览

线性时不变系统的天然栖息地是 $s$ 平面：极点是它们的基因，左半平面就是"稳定"，时间域里的运算到了 $s$ 域就化简成了算术。

练习题

基础

用频移性质求 $\mathcal{L}\{t^2 e^{-3t}\}$ 和 $\mathcal{L}\{e^{2t}\sin 3t\}$。
反变换 $F(s) = \dfrac{2s+1}{(s+1)(s+3)}$。
用拉普拉斯变换求解 $y' + 3y = e^{-2t}$，$y(0) = 1$，并验证答案。
通过分部积分从定义出发证明微分性质 $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$，并准确写出在 $t \to \infty$ 处需要的条件。

进阶

求解 $y'' + 4y = \delta(t)$，$y(0) = y'(0) = 0$，并解释为什么冲激响应等于 $\tfrac{1}{2}\sin 2t$。
对 $H(s) = \dfrac{10}{s^2 + 2s + 10}$，求极点、冲激响应、阶跃响应。从中读出 $\zeta$ 与 $\omega_n$。
用终值定理求 $\lim_{t\to\infty} y(t)$，其中 $Y(s) = \dfrac{5}{s(s^2+3s+2)}$，并验证定理的前提是否满足。

编程

画出 $H(s) = \dfrac{100}{s^2 + 10s + 100}$ 的 Bode 幅频与相频，从图上估读谐振峰的位置，并与 $\omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2}$ 的理论值对比。
用 SciPy 的 lsim 模拟带纯时延的系统 $H(s) = \dfrac{e^{-s}}{s+1}$ 的阶跃响应，先用 Padé 近似把延迟展开成有理函数。

参考资料

Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics（第 10 版），Wiley (2011) — 第 6 章是拉普拉斯变换的标准教材化处理。
Ogata, K. Modern Control Engineering（第 5 版），Pearson (2010) — 极零点分析、Bode 图、PID 整定的深入讲解。
Oppenheim, A. V. & Willsky, A. S. Signals and Systems（第 2 版），Prentice Hall (1997) — 信号工程视角与卷积。
Strang, G. Differential Equations and Linear Algebra，Wellesley-Cambridge (2014) — 几何味更浓的入门读物。
SciPy: scipy.signal — 传递函数、阶跃/冲激响应、Bode 图的 Python 工具。

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