常微分方程（七）：稳定性理论

给系统轻轻一推，它会回到平衡，还是漂走，又或者干脆崩溃？ 这一个问题决定了桥梁能否扛住风暴、生态系统能否从干旱中恢复、经济能否从危机中反弹。稳定性理论告诉我们答案——而且不需要解微分方程。我们将学会如何从相平面的几何图形中读出系统的命运。

本章要点

• 三个精确定义：Lyapunov 稳定、渐近稳定、不稳定
• Jacobian 线性化与 Hartman-Grobman 定理
• Lyapunov 直接方法：用类能量函数证明稳定性
• LaSalle 不变集原理处理边界情况
• 迹-行列式平面对所有 2D 线性系统的统一分类
• 四种典范分岔：鞍-结点、跨临界、叉型、Hopf
• 实例：单摆、捕食模型、倒立摆控制

前置知识

• 第六章：线性系统、特征值、相图
• 多元微积分：偏导数、Jacobian 矩阵

先看图：六张图讲完线性系统

稳定性的本质是几何——它描述了相空间中轨迹如何流动。六张图把 2D 线性系统的全部故事讲清楚。

非线性系统在每个平衡点附近局部呈现同样的六种图形之一。阻尼单摆和 Lotka-Volterra 捕食模型都是绝佳例子：

稳定性的精确定义

考虑 $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x})$ 的平衡点 $\mathbf{x}^*$（满足 $\mathbf{f}(\mathbf{x}^*) = \mathbf{0}$）。

直觉：附近的轨迹永远保持附近。

渐近稳定。 Lyapunov 稳定 且 $\mathbf{x}(t) \to \mathbf{x}^*$。 直觉：附近的轨迹不仅保持附近，最终还会回家。

不稳定。 不满足 Lyapunov 稳定。

吸引域是所有最终收敛到 $\mathbf{x}^*$ 的初值集合。渐近稳定是个局部性质——吸引域告诉你局部有多大。

为什么要两个定义？ 中心（闭合轨道）是 Lyapunov 稳定但不是渐近稳定——轨迹"绕着不掉下来"。Lotka-Volterra 是经典案例。

线性化：Jacobian 方法

Hartman-Grobman 定理

若 $J$ 的所有特征值实部非零（双曲平衡点），则非线性系统在 $\mathbf{x}^*$ 附近与线性系统 $\mathbf{u}' = J\mathbf{u}$ 拓扑等价。

• 所有 $\operatorname{Re}(\lambda) < 0$：渐近稳定
• 存在 $\operatorname{Re}(\lambda) > 0$：不稳定
• 纯虚特征值：线性化失效——必须用 Lyapunov 方法

实例：阻尼单摆

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

gamma, omega0 = 0.3, 1.0
def pendulum(X, t):
    x, y = X
    return [y, -gamma*y - omega0**2*np.sin(x)]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
t = np.linspace(0, 50, 2000)
for x0 in np.linspace(-3*np.pi, 3*np.pi, 15):
    for y0 in np.linspace(-3, 3, 5):
        sol = odeint(pendulum, [x0, y0], t)
        ax.plot(sol[:,0], sol[:,1], 'b-', linewidth=0.3, alpha=0.5)
ax.set_title('阻尼单摆相图')
ax.grid(True, alpha=0.3); plt.tight_layout(); plt.show()

Lyapunov 直接方法

核心思想

不解方程证明稳定性。构造一个类能量的标量函数 $V(\mathbf{x})$，证明它沿轨迹递减。

要求。

1. $V(\mathbf{x}^*) = 0$，其它地方 $V > 0$（正定）
2. $\dot V = \nabla V \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x}) \leq 0$ 沿轨道

稳定性定理。

几何直觉

轨迹从外向内穿越 $V$ 的等位面。由于 $V$ 在 $\mathbf{x}^*$ 处取得最小值，轨迹无法逃出小等位面，并（在严格递减条件下）一路滑到底。

怎么找 $V$？

• 物理能量： 力学系统的动能 + 势能
• 二次型： $V = \mathbf{x}^T P \mathbf{x}$，其中 $P$ 满足 Lyapunov 方程 $A^T P + PA = -Q$
• 试错： 从 $V = x^2 + y^2$ 开始，算 $\dot V$，调系数

实例：单摆能量

下垂位置稳定。下面的 LaSalle 原理把它升级为渐近稳定。

LaSalle 不变集原理

有时 $\dot V \leq 0$ 但在整个集合上为零——标准 Lyapunov 只能给出稳定，给不出收敛。

定理。 设 $E = \{\mathbf{x} : \dot V = 0\}$，$M$ 是 $E$ 中的最大不变子集。每条有界轨迹都趋向 $M$。

若 $M = \{\mathbf{x}^*\}$，则 $\mathbf{x}^*$ 渐近稳定。

阻尼单摆：$\dot V = 0$ 要求 $\omega = 0$。但在 $\omega = 0$ 这条直线上动力学强迫 $\dot\omega = -\omega_0^2 \sin\theta \neq 0$（除非也满足 $\theta = 0$）。所以 $M = \{(0,0)\}$，免费得到渐近稳定。

迹-行列式分类

对 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$（2D），令 $\tau = \operatorname{tr}(A)$，$\Delta = \det(A)$。则 $\lambda_{1,2} = \tfrac12(\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\Delta})$。

一张图压缩了整张表：

分岔：图本身在变化

慢慢拧动参数旋钮 $r$，平衡点会出生、死亡、互换稳定性。四个"标准型"涵盖了所有余维 1 的局部分岔。

Hopf 是自然界一切自持振荡的来源——从心跳到变星脉动。

应用 1：Lotka-Volterra 捕食模型

保证每条轨道闭合。系统呈现周期性种群波动（图 2 右）。

应用 2：倒立摆控制

倒立平衡点是鞍点。线性反馈 $u = -K\mathbf{x}$ 把闭环特征值移到左半平面，把鞍点变成稳定焦点。

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import numpy as np
from scipy.linalg import solve_continuous_are
from scipy.integrate import odeint

g, l, m, M_cart = 9.81, 0.5, 0.1, 1.0
A = np.array([[0,1,0,0],[0,0,-m*g/M_cart,0],
              [0,0,0,1],[0,0,(M_cart+m)*g/(M_cart*l),0]])
B = np.array([[0],[1/M_cart],[0],[-1/(M_cart*l)]])
Q = np.diag([10, 1, 100, 1]); R = np.array([[0.1]])
P = solve_continuous_are(A, B, Q, R)
K = np.linalg.inv(R) @ B.T @ P
print("闭环特征值：", np.linalg.eigvals(A - B @ K))

总结

练习题

基础题。

1. 判断稳定性：(a) $x' = -x,\ y' = -2y$；(b) $x' = y,\ y' = -\sin x - 0.5y$。
2. 用 $V = x^2 + y^2$ 分析 $x' = -x + y^2,\ y' = -y$。
3. 找出 $\dot x = rx - x^3$ 的所有分岔点。

进阶题。

4. 证明总能量是阻尼单摆的 Lyapunov 函数，再用 LaSalle 推出渐近稳定。
5. 分析 Van der Pol 振子：证明原点不稳定但存在稳定极限环。
6. 对 Lotka-Volterra 竞争模型，推导共存与排斥的条件。

编程题。

7. 根据迹和行列式自动分类 2D 线性系统平衡点；复现图 3。
8. 动画演示 Hopf 分岔：扫描 $\mu$，观察极限环生长。

参考资料

• Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, CRC Press (2015)
• Khalil, Nonlinear Systems, Prentice Hall (2002)
• Guckenheimer & Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations, Springer (1983)
• Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer (2001)

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