常微分方程（八）：非线性系统与相图

真实世界是非线性的。 捕食循环、心律节拍、神经元放电——线性方程无力描述这些。当叠加原理失效，世界获得了新的行为：极限环、多平衡点、双稳态、滞回。本章给你直接从 2D 相图读出这些行为的几何与分析工具。

本章要点

• 为什么非线性系统与线性系统本质上不同
• Lyapunov 稳定性的可视化：等位面、碗、吸引域
• 线性化 vs 完整非线性图（Hartman-Grobman 实战）
• Lotka-Volterra：闭合轨道与守恒量
• 竞争模型：四种典范结局
• Van der Pol 振子与极限环的几何
• 梯度系统与 Hamilton 系统
• Poincare-Bendixson：为什么 2D 系统不能混沌

前置知识

• 第六章：线性系统、相图分类
• 第七章：稳定性、线性化、Lyapunov 函数

从线性到非线性

线性系统遵守叠加原理：若 $\mathbf{x}_1$、$\mathbf{x}_2$ 是解，则 $c_1\mathbf{x}_1 + c_2\mathbf{x}_2$ 也是。这是第 1-6 章全部工具——指数试解、特征向量、基本矩阵——的发动机。

非线性系统打破叠加，付出代价：闭式解消失。但它换来了无价的礼物：

• 多个平衡点，每个有自己的稳定性类型
• 极限环——孤立的、稳定的周期轨道（线性系统不可能）
• 双稳态与滞回——对初始条件的"记忆"
• 敏感依赖——3D 起的混沌（第九章）

物理、生物、化学、神经科学、经济学中几乎所有有趣的系统都是非线性的。

Lyapunov 稳定性的可视化

Lyapunov 函数 $V(\mathbf{x})$ 是一个沿轨迹递减（$\dot V \leq 0$）的标量。几何上，$V$ 的等位面构成围绕平衡点的嵌套"碗"族，轨迹由外向内穿越。

把 Lyapunov 稳定性看作"轨迹滑入碗底"，所有定理就显然了：

• $\dot V \leq 0$：轨迹永不上行 -> 永远困在最初那只碗里（稳定）。
• $\dot V < 0$ 严格：持续下滑 -> 滑到碗底（渐近稳定）。
• $\dot V > 0$：轨迹爬出来 -> 不稳定。

LaSalle 推广：当 $\dot V$ 在一个集合上消失，轨迹趋于这个集合中最大不变子集。

相图与零线

对 $x' = f(x,y),\ y' = g(x,y)$：

• $x$ 零线是曲线 $f(x,y) = 0$。其上 $\dot x = 0$，轨迹垂直穿过。
• $y$ 零线是曲线 $g(x,y) = 0$。轨迹水平穿过。
• 平衡点位于两条零线的交点。
• 各区域 $f$、$g$ 的符号告诉你流向。

零线分析是手绘相图最便宜的方法。

线性化：局部为真，全局意外

在双曲平衡点附近，Jacobian 特征值完全决定局部图像（Hartman-Grobman）。但远离平衡点一切都说不准。阻尼单摆把这种戏剧性差异演到极致：

Lotka-Volterra 捕食模型

模型

• $x$：猎物，$y$：捕食者
• 平凡平衡点 $(0,0)$：鞍点
• 共存平衡点 $(\gamma/\delta,\ \alpha/\beta)$：Jacobian 特征值 $\pm i\sqrt{\alpha\gamma}$（中心）

保证每条轨道闭合。时间序列与相平面如下：

文字解读

1. 猎物充足 -> 捕食者繁盛 -> 捕食者数量上升。
2. 捕食者众多 -> 猎物耗尽 -> 猎物暴跌。
3. 猎物稀少 -> 捕食者饿死 -> 捕食者数量下降。
4. 捕食者稀少 -> 猎物反弹 -> 回到第 1 步。

局限

• 结构不稳定——任何额外项都会摧毁闭合轨道。
• 无承载力——捕食者缺席时猎物无界增长。
• 忽略空间和时滞。

正是这些缺陷推动了下一节更现实的模型。

竞争模型：四种结局

乘积 $\alpha_{12}\,\alpha_{21}$ 决定你看到四张图中的哪一张。

这就是穿着数学外衣的竞争排斥原理。

Van der Pol：非线性阻尼造极限环

精妙之处在阻尼系数 $-\mu(1 - x^2)$：

• 当 $|x| < 1$：阻尼为负——系统注入能量。
• 当 $|x| > 1$：阻尼为正——能量耗散。

内部轨迹生长，外部轨迹收缩，二者都收敛到一个稳定极限环——一个孤立的周期轨道，吸引盆地内一切。

应用： 心脏起搏器细胞、神经元动作电位、电子振荡电路、间歇泉喷发、商业周期。

梯度系统与 Hamilton 系统：两种特殊世界

梯度系统：$\mathbf{x}' = -\nabla V$

• 轨迹沿 $V$ 最陡下降方向。
• $\dot V = -|\nabla V|^2 \leq 0$——势能始终下降。
• 不可能有周期轨道（不能绕一圈还更低）。
• 机器学习的梯度下降是离散表亲。

Hamilton 系统：$x' = \dfrac{\partial H}{\partial y},\ y' = -\dfrac{\partial H}{\partial x}$

• $H$ 沿每条轨道守恒（$\dot H = 0$）。
• 相空间体积守恒（Liouville 定理）。
• 轨道是 $H$ 的等位线。
• 无阻尼单摆是教科书例子。

这两个世界处于耗散光谱的两极。

Poincare-Bendixson：2D 不能混沌

定理（Poincare-Bendixson）。 2D 光滑连续系统的有界轨迹，若不趋向任何平衡点，必收敛到闭合轨道。

一句话：2D 长期行为只有平衡或周期，没有混沌。

秘密在 Jordan 曲线定理——闭合轨道把平面一分为二，把轨迹困住。加入第三个维度，轨迹可以从轨道上方逃出，混沌的大门打开（第九章）。

Bendixson 判据（无闭合轨道）。 若 $\partial f/\partial x + \partial g/\partial y$ 在单连通区域内符号恒定不为零，则该区域内无闭合轨道。

数值方法速查

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def rk4_step(f, x, t, h):
    k1 = h * np.array(f(x, t))
    k2 = h * np.array(f(x + k1/2, t + h/2))
    k3 = h * np.array(f(x + k2/2, t + h/2))
    k4 = h * np.array(f(x + k3,    t + h))
    return x + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

总结

练习题

概念题。

1. 为什么 $y' = y^2$ 不满足叠加？给个反例。
2. 为什么 2D 连续系统不能混沌？
3. 手绘 $x' = y,\ y' = -x + x^3 - 0.2y$（Duffing）的相图。

计算题。

4. 对 $x' = x - x^3,\ y' = -y$：找出所有平衡点并分类。
5. 证明 $V = x^2 + y^2$ 是 $x' = -x + y^2,\ y' = -y$ 的 Lyapunov 函数。
6. 验证 $H = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$ 对 Lotka-Volterra 守恒。

编程题。

7. 复现图 5 的四种竞争结局，并对每个吸引域上色。
8. 数值估计 $\mu \in \{0.1, 0.5, 1, 3, 10\}$ 时 Van der Pol 周期 $T(\mu)$。
9. 比较 Euler 与 RK4 在 Van der Pol 上的精度——找出 Euler 失效的 $\mu$。

参考资料

• Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Westview Press (2015)
• Murray, Mathematical Biology I, Springer (2002)
• Hirsch, Smale, & Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and Chaos, Academic Press (2012)
• Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer (1996)

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