ODE on Chen Kai Blog

常微分方程（十八）：前沿专题与系列总结

Mon, 15 Apr 2024 09:00:00 +0000

旅程到此结束。 18 章前我们捡起一枚下落的苹果，今天我们将以同样的精神收尾——把 ODE 看作 变化的通用语言——但站在了一座更高的山上。

本章做三件事。第一，巡视四个正在重塑动力系统建模方式的前沿方向：Neural ODE、时滞微分方程、随机微分方程、分数阶微积分。第二，用方法选择流程图和章节地图把全系列做一次回顾。第三，把你刚刚掌握的经典理论与现代机器学习显式连接起来——那是 ODE 在 2025 年最活跃的舞台。

常微分方程（十七）：物理与工程应用

Fri, 29 Mar 2024 09:00:00 +0000

微分方程不是纯数学游戏——它是理解物理世界的语言。 从天体运动到电路响应，从荡来荡去的单摆到桥缆背后的旋涡脱落，所有动力系统都在"讲" ODE。

常微分方程（十六）：控制理论基础

Tue, 12 Mar 2024 09:00:00 +0000

当你开车时不断根据车道位置纠正方向；恒温器对比室温和设定值后调节加热器；火箭通过摆动喷管让箭体保持垂直。 把硬件全部抽掉，剩下的是同一个想法：测量、比较、动作。控制理论就是研究这个闭环的数学，而它的母语正是常微分方程。

常微分方程（十五）：种群动力学

Sat, 24 Feb 2024 09:00:00 +0000

为什么猞猁与雪兔的数量呈现 10 年周期的精确波动？ 为什么引入一个外来物种有时会导致整个生态系统崩溃？为什么相似的竞争者有时共存、有时互相驱赶到灭绝？答案不在物种里，而在描述物种关系的方程里。本章梳理数学生态学的经典模型：从单种群 Logistic 与 Allee 效应，到二种群竞争，到捕食-被捕食振荡，再到年龄结构与空间扩散。

常微分方程（十四）：传染病模型与流行病学

Wed, 07 Feb 2024 09:00:00 +0000

2020 年初，全世界都在盯着一组三方程的常微分方程做政策决策。 “拉平曲线” 不是口号，而是一个具体方程的直觉；“群体免疫阈值” 不是猜想，而是一行式子推出来的 $1 - 1/R_0$。Kermack 与 McKendrick 在 1927 年写下的 SIR 模型，最终精确到能驱动万亿级别的决策。

常微分方程（十三）：偏微分方程引论

Sun, 21 Jan 2024 09:00:00 +0000

当一个量依赖于不止一个自变量，整个 ODE 世界就分裂为一个远更丰富的世界：偏微分方程（PDE）。 金属棒里的温度同时是位置和时间的函数；振动的弦在空间与时间两个维度中演化；静电势驻留在三维空间中。ODE 的所有技术此时变成"工具"而不是"答案"——分离变量法把一个 PDE 拆成一族 ODE，那族 ODE 的本征值就是算子的谱，叠加原理再把一切重新缝合。

常微分方程（十二）：边值问题

Thu, 04 Jan 2024 09:00:00 +0000

初值问题给你一个起始状态，让你向前推进；边值问题在两个不同的点上各给你一部分信息，要求你找出两端都吻合的解。措辞改动微小，后果巨大：边值问题可能有唯一解，也可能完全无解，或者有无穷多解。它们要求一套截然不同的工具——迭代的、全局的、与线性代数深度交织的。

常微分方程（十一）：数值方法

Mon, 18 Dec 2023 09:00:00 +0000

科学与工程中几乎所有有意思的微分方程都拒绝给出解析解：非线性向量场、变系数、上万个耦合状态变量——纸笔早在问题本身屈服之前就已经放弃。数值积分是穿过这道墙的方式。本章构建、评估、对比那一小套基本能解决你会遇到的所有 ODE 的算法，并给出判断积分器是否在欺骗你的诊断手段。

常微分方程（十）：分岔理论

Fri, 01 Dec 2023 09:00:00 +0000

湖泊清澈了几十年，却在一个夏天突然变浑。电网平稳运行，几秒之内级联崩溃。一根细长的钢柱在递增载荷下笔直挺立、笔直挺立、笔直挺立——然后突然弯折。

常微分方程（九）：混沌理论与洛伦兹系统

Tue, 14 Nov 2023 09:00:00 +0000

1961 年的一个冬日，Edward Lorenz 把一次气象模拟从一个截断后的数字 0.506 重新启动——而不是 0.506127。 几周模拟时间后，预报已经面目全非。这一次意外给了我们蝴蝶效应，把混沌从隐喻变成了科学。教训既深刻又冷静：严格确定性的方程，可以是实质上不可预测的。

常微分方程（八）：非线性系统与相图

Sat, 28 Oct 2023 09:00:00 +0000

真实世界是非线性的。 捕食循环、心律节拍、神经元放电——线性方程无力描述这些。当叠加原理失效，世界获得了新的行为：极限环、多平衡点、双稳态、滞回。本章给你直接从 2D 相图读出这些行为的几何与分析工具。

常微分方程（七）：稳定性理论

Wed, 11 Oct 2023 09:00:00 +0000

给系统轻轻一推，它会回到平衡，还是漂走，又或者干脆崩溃？ 这一个问题决定了桥梁能否扛住风暴、生态系统能否从干旱中恢复、经济能否从危机中反弹。稳定性理论告诉我们答案——而且不需要解微分方程。我们将学会如何从相平面的几何图形中读出系统的命运。

常微分方程（六）：线性微分方程组

Sun, 24 Sep 2023 09:00:00 +0000

一个方程描述一个量。但世界很少这么配合。 兔群与狼群此消彼长，RLC 网络中的电流和电压互相牵动，化学反应里的物质浓度彼此影响。只要两个未知量出现在同一组方程里，你就有了一个方程组，标量公式 $y'=ay$ 已经不够用了。

常微分方程（五）：级数解法与特殊函数

Thu, 07 Sep 2023 09:00:00 +0000

有些 ODE 的解，根本写不成熟悉的初等函数。 Bessel 方程描述圆柱里的热传导和鼓面的振动，Legendre 方程出现在球坐标的每一处分离变量，Airy 方程刻画量子隧穿；它们的解定义了全新的"特殊函数"。本章给出找到这些解的统一方法——幂级数与 Frobenius 法——并解释为什么同一小撮特殊函数会反复出现在物理与工程之中。

常微分方程（四）：拉普拉斯变换

Mon, 21 Aug 2023 09:00:00 +0000

拉普拉斯变换把微积分变成了代数。 不必再硬算积分、猜试解、再把初值条件一条条对上。它把整个 ODE — 方程、激励、初始条件 — 一并丢进复变量 $s$ 的一道多项式方程里，像解中学题一样解出来，再变换回去。沿途还有一份意外的礼物：解的形状被翻译成了几何 — 极点落在复平面左半边就衰减，落在右半边就发散，落在虚轴上就永不停歇地振荡。本章从定义出发把这套图像一砖一瓦搭起来，再连接到工程上把拉普拉斯变换变成动力学通用语的那几件工具：传递函数、Bode 图、PID 控制。

常微分方程（三）：高阶线性微分方程

Fri, 04 Aug 2023 09:00:00 +0000

一阶 ODE 只记得一个数；二阶 ODE 同时记得两个。 这一点点额外的自由度，恰好让同一类方程能够描述被弹拨的吉他弦、汽车的悬挂、调频收音机里的 LC 谐振电路、强风中摆动的高楼。每一种现象背后都重复出现"振荡 / 略带过冲地回到平衡 / 缓慢爬回"这同样的三种状态，而决定走哪一条的，永远是同一个代数玩具——特征方程。

常微分方程（二）：一阶微分方程的求解方法

Tue, 18 Jul 2023 09:00:00 +0000

银行存款的复利、肝脏代谢一片药物、水箱里的盐慢慢稀释、电容在电源驱动下逐步充满——这些看似毫不相关的现象，背后都是同一类方程：一阶常微分方程。本章的目标只有一个：让你看见一个一阶方程的瞬间，就能判断它属于四种典型形态中的哪一种，并立刻知道该使用哪种求解技巧。这四套方法看似各自独立，其实背后是同一个思想——找到一个变量替换或乘子，把方程化成"一眼就能积出来"的形式。

常微分方程（一）：微分方程的起源与直觉

Sat, 01 Jul 2023 09:00:00 +0000

你身边的一切都在变化。 咖啡在冷却，人口在增长，单摆在摆动，病毒在传播，股价在波动，行星在运行。这些系统几乎没有谁能用「某物等于多少」来描述——它们只能用「某物变化得多快」来刻画。这第二种描述方式，正是微分方程存在的理由；学会读它，就是学会读物理与生物所用的那门语言。