抽象代数
群、环、域与伽罗瓦理论——从结构视角理解数学。
01抽象代数（一）：群 —— 你与代数结构的初次相遇
从整数到对称性，我们构建了群的正式定义，证明了拉格朗日定理，并计算了第一个子群格。
02抽象代数（二）：群的作用 —— 群如何移动事物
我们形式化了群如何作用于集合，证明了轨道-稳定子定理，推导了 Burnside 引理，并计算了项链的数量。
03抽象代数（三）：商群与同态 —— 结构压缩的艺术
正规子群、商构造和同构定理——如何系统地简化群同时保留其本质。
04抽象代数（四）：Sylow 定理 —— 剖析有限群
Sylow 定理为我们提供了一种系统的方法来寻找和计数素数幂阶的子群——这是分类有限群最有力的工具。
05抽象代数（五）：环与理想 —— 当乘法进入画面
引入乘法：环、整环、理想和商环——数论和多项式算术背后的代数结构。
06抽象代数（六）：多项式环 —— 因子分解与唯一分解
除法算法、不可约性测试，以及从 $\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}[x]$ 再到 $\mathbb{Q}[x]$ 的过程——理解何时及为何唯一因子分解成立。
07抽象代数（七）：域扩张 — 构建更大的数系
代数和超越扩张、塔律、极小多项式和分裂域 — 使Galois理论成为可能的机制。
08抽象代数（八）：Galois 理论 —— 域与群之间的桥梁
Galois 理论的基本定理建立了中间域和子群之间的完美对应关系，并解决了古老的根式可解性问题。
09抽象代数（九）：模——向量空间的推广
环上的模是域上向量空间的自然推广——主理想整环上有限生成模的结构定理统一了阿贝尔群理论和标准型理论。
10抽象代数（十）：表示论 — 群在向量空间上的作用
将抽象群表示为矩阵使它们变得具体且可计算 — Maschke 定理、Schur 引理和特征标理论为我们提供了强大的分类工具。
11抽象代数（十一）：范畴论 — 数学结构的语言
范畴、函子和自然变换提供了一种通用的数学结构语言——并且泛性质用优雅的特征取代了特定的构造。
12抽象代数（十二）：代数在实际应用中的威力 —— 从密码学到编码理论及其他
从 RSA 加密到纠错码再到粒子物理 —— 抽象代数最强大的实际应用，以及下一步该去哪里。