Abstract-Algebra on Chen Kai Blog

抽象代数（十二）：代数在实际应用中的威力 —— 从密码学到编码理论及其他

Thu, 23 Sep 2021 09:00:00 +0000

我坐在书桌前，左手边是一个打乱的三阶魔方，右手边是一张印着黑白方块的餐厅点餐二维码。过去十一个月里，我把自己埋在群、环、域、模、表示和范畴的符号堆里。有时候我会突然停笔，盯着满纸的 $\sigma, \tau, \ker, \operatorname{im}$ 发呆：这些东西真的只是数学家自娱自乐的智力游戏吗？它们和我每天刷的手机、存的银行密码、甚至头顶的星空，到底有什么关系？

抽象代数（十一）：范畴论 — 数学结构的语言

Tue, 21 Sep 2021 09:00:00 +0000

结构的重复模式#

我至今还记得自己第一次整理抽象代数笔记时的错觉。那天晚上，我把群同态基本定理、环同态基本定理、模同态基本定理并排写在一张大白纸上。写着写着，我停下了笔。这三条定理的陈述几乎一模一样：先找一个结构保持映射（同态），再看它的核（kernel），然后把原结构除以核，最后得到一个同构于像的商结构。证明步骤也像是同一个模子刻出来的：验证良定性、验证单射、验证满射、验证运算保持。唯一的区别只是我把“群乘法”换成了“环加法与乘法”，或者把“模的标量乘法”换了进去。

抽象代数（十）：表示论 — 群在向量空间上的作用

Sun, 19 Sep 2021 09:00:00 +0000

我第一次盯着一张群乘法表发呆时，脑子里只有一个念头：这玩意儿到底怎么算？抽象群（abstract group）的定义确实漂亮，几个公理就把对称性打包得严严实实。可一旦你真正想动手，比如算一个由生成元和关系定义的群元素，或者想从那张密密麻麻的乘法表里抠出一点数值不变量，抽象定义就像一堵光滑的墙，连个抓手都没有。我试过硬推，结果只是在符号迷宫里打转。

抽象代数（九）：模——向量空间的推广

Fri, 17 Sep 2021 09:00:00 +0000

我第一次接触线性代数时，总觉得它干净得有点“不真实”。每个子空间都能找到补空间，每个有限维向量空间都乖乖地拥有一组基，而且不管你怎么挑基，基向量的个数永远一样。那时候我以为代数就该这么顺滑，直到我试着把标量从实数换成整数。结果呢？整个理论瞬间“卡壳”了。你不能随便除以 2，方程 $$2x = a$$ 在整数里经常无解，基的概念直接崩塌。我当时盯着草稿纸发愣：难道离开域（field），线性结构就彻底散架了吗？

抽象代数（八）：Galois 理论 —— 域与群之间的桥梁

Wed, 15 Sep 2021 09:00:00 +0000

1832 年 5 月 29 日的深夜，巴黎的一间阁楼里，20 岁的 Évariste Galois 知道自己活不过明天。决斗的约定已经写下，对手是当时法国枪法最好的军官之一。在蜡烛快要燃尽的时候，他没有写遗书，而是抓起一叠草稿纸，疯狂地把自己脑子里关于多项式根的所有想法往外倒。他在页边匆匆写下“我没有时间了”，然后把这叠纸寄给了朋友。这些手稿在抽屉里躺了十几年才被数学界真正读懂，但它们彻底改写了代数的走向。

抽象代数（七）：域扩张 — 构建更大的数系

Mon, 13 Sep 2021 09:00:00 +0000

我高中第一次碰到 $$x^2 + 1 = 0$$ 时，老师在黑板上画了个大大的叉，说“实数范围内无解”。过了两周，同一个老师又走上讲台，轻描淡写地引入一个符号 $$i$$ ，宣布 $$i^2 = -1$$ ，然后所有方程突然就都有解了。我当时坐在底下心里直犯嘀咕：这算不算作弊？缺什么就硬造什么，数学难道可以这样凭空变魔术？

抽象代数（六）：多项式环 —— 因子分解与唯一分解

Sat, 11 Sep 2021 09:00:00 +0000

我记得刚上大学那会儿，盯着黑板上的 $$x^2 + 1$$ 发呆。高中老师信誓旦旦地说这玩意儿“不能再分了”，可眼前的教授随手写下 $$(x+i)(x-i)$$ ，转头又补了一句：“如果在模 $$5$$ 的整数里，它等于 $$(x+2)(x+3)$$ 。”我当时的脑子直接打结：同一个多项式，怎么换个地盘就换了一副面孔？它到底是个固定的对象，还是随环境变形的变色龙？

抽象代数（五）：环与理想 —— 当乘法进入画面

Thu, 09 Sep 2021 09:00:00 +0000

我第一次真正卡壳，是在盯着整数集合 $\mathbb{Z}$ 发呆的时候。那时候我刚学完群论，满脑子都是对称、旋转和置换。我试着把 $\mathbb{Z}$ 当成一个加法群（additive group）来看： $(\mathbb{Z}, +)$ 确实漂亮，它是一个无限循环群，生成元是 $$1$$ 或 $$-1$$ ，结构干净得像一块玻璃。可是，当我想聊点“数论”的东西，比如素数、最大公约数、或者为什么 $$6$$ 只能拆成 $2 \times 3$ 时，加法群突然就哑火了。加法只能告诉我 $$2+2+2=6$$ ，它根本看不见“乘法”这回事。我忽然意识到，单靠一个运算，就像只用一把螺丝刀去修整台发动机：你能拧开外壳，但碰不到核心的齿轮咬合。

抽象代数（四）：Sylow 定理 —— 剖析有限群

Tue, 07 Sep 2021 09:00:00 +0000

我记得第一次翻开抽象代数教材时，盯着 Lagrange 定理发愣了好半天。书上写着“子群的阶必须整除群的阶”，我心想这多直观啊，就像切蛋糕，12 寸的蛋糕当然只能切成 1、2、3、4、6 或 12 块。可当我试着反过来问：“既然 6 整除 12，那 12 阶的群一定有个 6 阶子群吧？”教材冷冷地甩出一个反例：交错群 $$A_4$$ 的阶是 12，但它根本没有 6 阶子群。那一刻我突然意识到，Lagrange 定理只是一道单向的门禁，它告诉你哪些尺寸“不可能”，却对哪些尺寸“一定存在”闭口不谈。

抽象代数（三）：商群与同态 —— 结构压缩的艺术

Sun, 05 Sep 2021 09:00:00 +0000

我盯着那张画满箭头的凯莱图（Cayley graph），脑子里只有一个念头：这也太乱了。一个只有几十个元素的群，乘法表就已经像一团解不开的毛线；要是元素多达几百万，对称性描述得写满十几页纸，我该怎么抓住它的核心？后来我才明白，数学家面对庞然大物时，从不硬刚。他们有一套极其优雅的“压缩术”：把群内部结构相似的整块元素捏成一个点，生成一个更小的群。这个新群虽然丢了细节，却死死咬住了原群的骨架。这篇笔记就是我摸索这套压缩术的记录，核心工具是正规子群（normal subgroup）、商群（quotient group）、群同态（group homomorphism），以及把它们缝在一起的三大同构定理（isomorphism theorems）。

抽象代数（二）：群的作用 —— 群如何移动事物

Fri, 03 Sep 2021 09:00:00 +0000

从抽象群到具体作用#

我第一次碰到“群作用”这个词的时候，脑子里全是乱码。书上冷冰冰地写着 $G \times X \to X$ ，满足两条公理，然后直接跳到轨道和稳定子。我盯着那几行字看了半小时，心里只有一个问题：这到底在干什么？群不是已经定义好了吗，为什么还要让它去“作用”在别的集合上？

抽象代数（一）：群 —— 你与代数结构的初次相遇

Wed, 01 Sep 2021 09:00:00 +0000

为什么代数结构很重要#

我第一次接触抽象代数时，盯着一本教材的目录发呆了整整一个下午。目录上写着“群、环、域”，旁边配着一堆我完全看不懂的符号。我当时心里只有一个念头：这些字母和箭头到底在算什么？实数我会算，矩阵我会乘，函数我会求导，可“群”到底是个什么东西？它连个具体的数字都没有，凭什么能成为一门课的核心？