微分几何
从曲线曲面到流形、联络与 Gauss-Bonnet 定理。
01微分几何（一）：空间中的曲线 —— 曲率、挠率和 Frenet 标架
参数化曲线、弧长、曲率、挠率和 Frenet-Serret 装置——完整的空间曲线局部理论。
02微分几何（二）：曲面与第一基本形式 —— 内在测量
正则曲面、坐标补丁、切平面和第一基本形式——如何在不离开曲面的情况下测量长度、角度和面积。
03微分几何（三）：形状算子——曲面的曲率
Gauss 映射和形状算子捕捉曲面在空间中的弯曲方式——主曲率、高斯曲率和平均曲率将每个点分类为椭圆型、双曲型或抛物型。
04微分几何（四）：内蕴几何 —— 惊人定理与测地线
Gauss 的惊人定理揭示了高斯曲率仅依赖于第一基本形式 —— 测地线是曲面上的“直线”，局部最小化弧长。
05微分几何（五）：高斯-博内定理 —— 几何与拓扑的交汇点
高斯-博内定理将总高斯曲率与欧拉示性数联系起来——这是局部微分几何与整体拓扑之间的一座令人惊叹的桥梁。
06微分几何（六）：光滑流形 —— 超越嵌入曲面的几何
流形使几何从环境空间中解放出来——图表、图册和光滑结构让我们能够在不生活在 $\mathbb{R}^n$ 中的空间上进行微积分。
07微分几何（七）：向量场、流和李括号
向量场生成流——一族单参数的微分同胚。李括号衡量了流不交换的程度，从而引出了Frobenius可积性定理。
08微分几何（八）：微分形式 —— 流形上积分的自然语言
微分形式将梯度、旋度和散度统一到一个框架中——外导数 $d$ 和楔积使微积分变得与坐标无关。
09微分几何（九）：流形上的积分与斯托克斯定理
斯托克斯定理——流形上的微积分基本定理——将格林定理、高斯定理和经典的斯托克斯定理统一为一个优雅的陈述。
10微分几何（十）：黎曼几何 — 度量、联络和平行移动
黎曼度量让我们可以在任何光滑流形上测量长度、角度和体积 —— Levi-Civita 联络提供了平行移动和测地线的经典概念。
11微分几何（十一）：黎曼几何中的曲率 —— 黎曼、里奇和标量
黎曼曲率张量捕捉了所有内蕴曲率信息 —— 其收缩（里奇和标量曲率）控制体积增长、测地线偏离和爱因斯坦方程。
12微分几何（十二）：纤维丛、特征类与物理学
向量丛推广了切丛，丛上的联络推广了 Levi-Civita 联络，特征类是拓扑不变量——这是规范理论和广义相对论背后的几何结构。