Differential-Geometry on Chen Kai Blog

微分几何（十二）：纤维丛、特征类与物理学

Tue, 23 Nov 2021 09:00:00 +0000

高中物理课讲电磁学时，老师写过一个让人记忆深刻的公式： $\vec{E} = -\nabla\phi - \partial_t\vec{A}$ ， $\vec{B} = \nabla\times\vec{A}$ 。电磁场由一个标量势 $\phi$ 和一个向量势 $\vec{A}$ 决定。但同一个老师当时说了一句奇怪的话：" $\phi$ 和 $\vec{A}$ 不是唯一的——你可以做规范变换 $\phi \to \phi - \partial_t\lambda$ , $\vec{A} \to \vec{A} + \nabla\lambda$ ，电磁场不变。这种自由叫’规范不变性’。"

微分几何（十一）：黎曼几何中的曲率 —— 黎曼、里奇和标量

Sun, 21 Nov 2021 09:00:00 +0000

上一章在球面上做了一个简单的实验：从北极点出发，把一个切向量沿着一条闭合的三角形回路平行移动一圈，结果回到北极时，向量转了一个角度。在 $\mathbb{R}^n$ 上做同样的实验，向量回来还是原来的方向，没转过任何角度。

微分几何（十）：黎曼几何 — 度量、联络和平行移动

Fri, 19 Nov 2021 09:00:00 +0000

前面四章把流形当一个纯粹的"光滑壳子"在用。可以谈连续、谈光滑、谈切空间、谈微分形式、谈积分——但有一件最朴素的事，到现在为止还做不了：

微分几何（九）：流形上的积分与斯托克斯定理

Wed, 17 Nov 2021 09:00:00 +0000

大学一年级数学课的最后一次作业里有这么一道题：证明一维微积分基本定理 $\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$ 。当时我觉得这个公式平淡无奇——左边是导数的积分，右边是函数在端点的差，证明也不过是对 $$f$$ 用一次中值定理。

微分几何（八）：微分形式 —— 流形上积分的自然语言

Mon, 15 Nov 2021 09:00:00 +0000

本科电磁学课上有三个让我背得很熟但一直觉得很奇怪的恒等式： $\nabla\times\nabla f = 0$ ， $\nabla\cdot(\nabla\times F) = 0$ ， $\oint_C F\cdot dr = \iint_S (\nabla\times F)\cdot dS$ （经典 Stokes 定理）。还有散度定理、Green 定理，每一个都是分别证明的，要记一长串公式。当时一个朴素的疑问是：这些恒等式凭什么都长得这么"恰好"？三个不同的"基本定理"凭什么都把"边界上的积分"和"内部的导数"连起来？

微分几何（七）：向量场、流和李括号

Sat, 13 Nov 2021 09:00:00 +0000

看看天气预报地图上的风场图——每个城市上面画一个小箭头，箭头方向是风向，长度是风速。这是一张典型的向量场图。它告诉你：地球表面上每一点都有一个切向量（风速向量）；这些向量在空间上连续地变化。

微分几何（六）：光滑流形 —— 超越嵌入曲面的几何

Thu, 11 Nov 2021 09:00:00 +0000

广义相对论说，宇宙是一个四维时空，物质的存在让时空弯曲，物体的运动其实是沿着弯曲时空的"直线"——测地线。这个图像很美，但我第一次听说时有一个简单的问题没人回答：

微分几何（五）：高斯-博内定理 —— 几何与拓扑的交汇点

Tue, 09 Nov 2021 09:00:00 +0000

小学数学课上每个人都学过：三角形内角和等于 180 度。这是欧几里得几何里的金科玉律。但如果你在地球仪上画一个三角形，比如顶点放在北极、赤道经度 0°、赤道经度 90°，三条边都沿着大圆——这是球面上的"直线"，叫测地线。三个角分别是多少？北极那个是 90°（两条经线在那里垂直相交），赤道两个角也都是 90°（经线和赤道垂直）。三个角加起来是 270°，比 180° 多了 90°。

微分几何（四）：内蕴几何 —— 惊人定理与测地线

Sun, 07 Nov 2021 09:00:00 +0000

前一章结束的时候我留下了一个剧透：高斯曲率 $$K$$ 虽然是用外在的形状算子定义的，但只依赖于第一基本形式——也就是说，曲面上的蚂蚁，仅凭它能感受到的距离和角度信息，就能算出 $$K$$ 。这是 Gauss 在 1827 年证明的 Theorema Egregium（拉丁语"绝妙定理"），是经典曲面理论的核心结果。这一章就是来把这个剧透变成证明的。

微分几何（三）：形状算子——曲面的曲率

Fri, 05 Nov 2021 09:00:00 +0000

把一张 A4 纸放在桌上，铺平。它是平的。卷起来变成一个圆筒，它看起来弯了——但纸面上的距离、角度都没变，蚂蚁趴在纸上感觉不到任何区别。再换一种做法：把纸团成一团，纸面上确实出现褶皱、撕扯。前一种动作是"弯而不拉"，后一种是"必须拉伸"。

微分几何（二）：曲面与第一基本形式 —— 内在测量

Wed, 03 Nov 2021 09:00:00 +0000

我小时候第一次看世界地图，被一个细节困扰了很久：格陵兰岛在地图上和非洲大陆差不多大，但地球仪上的格陵兰只是非洲的一个小角落。这是为什么？后来知道答案是"墨卡托投影把高纬度的面积放大了"——但这个解释只是把问题换了个名字，没有解释为什么没法画出一张完美的平面地图。

微分几何（一）：空间中的曲线 —— 曲率、挠率和 Frenet 标架

Mon, 01 Nov 2021 09:00:00 +0000

我第一次在课本里看到"曲率"这个词，配的图是一条蜷成圈的螺旋线，旁边写着 $\kappa =$ 这个 $\tau =$ 那个，公式带一堆叉积。我当时的反应是：“为什么不是直接说这条线弯得有多厉害？“用尺子量行不行？为什么要这么多记号？