泛函分析
无穷维向量空间、有界算子、谱论与 PDE 背后的数学。
01泛函分析（一）：度量空间 —— 距离、收敛与完备性
从实直线到无限维函数空间：为什么完备性是分界线。
02泛函分析（二）：赋范空间与Banach空间
范数公理、经典例子、有限维空间中范数的等价性、完备性及其重要性、Schauder基、商空间以及可分性的作用。
03泛函分析（三）：Hilbert 空间 —— 无限维空间中的几何
内积赋予无限维空间几何结构——正交性、投影和 Riesz 表示定理使 Hilbert 空间成为分析学家的天堂。
04泛函分析（四）：对偶空间与 Hahn-Banach 定理 —— 线性泛函的驯服
Hahn-Banach 定理保证了足够多的连续线性泛函存在，以区分点——这是泛函分析中对偶理论的基础。
05泛函分析（五）：弱拓扑和弱*拓扑 —— 当范数收敛太强时
范数拓扑对于许多目的来说过于精细——弱拓扑和弱*拓扑提供了使优化和偏微分方程理论可行的紧性结果。
06泛函分析（六）：有界线性算子与三大定理
一致有界原理、开映射定理和闭图像定理——完备性的三个推论，约束了算子的行为。
07泛函分析（七）：紧算子——通往有限维的桥梁
紧算子是有限秩算子的极限，并继承了许多有限维谱行为——Fredholm 替代定理和自伴紧算子的谱定理。
08泛函分析（八）：谱理论 —— 分解算子
谱将特征值推广到无穷维空间——有界自伴算子的谱定理和连续函数演算给出了完整的分解。
09泛函分析（九）：无界算子 —— 当有界性失效时
闭算子、对称与自伴的区别、亏指数、Friedrichs 扩张、无界自伴算子的谱定理以及 Stone 定理。
10泛函分析（十）：算子半群 — 无限维空间中的演化方程
C₀-半群为演化方程提供了抽象框架 — Hille-Yosida 定理刻画了哪些算子生成良好定义的动力学。
11泛函分析（十一）：分布与Sobolev空间 — 广义解
分布扩展了函数的概念，以处理经典上不存在的导数 — Sobolev空间为PDE的弱解提供了合适的框架。
12泛函分析（十二）：泛函分析在行动 —— 偏微分方程和量子力学
Lax-Milgram 定理用于椭圆型偏微分方程，变分方法，量子可观测量作为自伴算子，以及 Stone 定理 —— 抽象理论与具体应用的交汇点。