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数学

Dec 30, 2021 核方法 66 分钟

核方法（八）：深度核学习 vs 深度学习——选择指南与故障排查

深度核学习把神经特征提取和核方法结合。何时选核而非深网、超参调优手册、常见故障模式，以及一张最终的 5 步核方法决策流程图。

Dec 24, 2021 核方法 88 分钟

核方法（七）：大规模核方法——Nystrom 近似与随机傅里叶特征

核方法是 $O(n^3)$。Nystrom 近似和随机傅里叶特征把它拉回线性时间，同时保留核技巧的表达能力。

Dec 19, 2021 核方法 54 分钟

核方法（六）：高斯过程——当核方法遇到贝叶斯推断

高斯过程把核变成一个贝叶斯模型——后验自带不确定性、边际似然自动选超参、核就是函数空间上的先验。

Dec 14, 2021 核方法 76 分钟

核方法（五）：核 SVM、核 PCA 与核岭回归

把经典算法核化——SVM 的对偶形式、核 PCA 在特征空间里的特征分解、核岭回归的闭式解。带 sklearn 代码与 worked example。

Dec 9, 2021 核方法 34 分钟

核方法（四）：常见核函数族——RBF、Matern、多项式、周期与更多

你真正会用到的几族核函数：RBF（高斯）、多项式、线性、Matern、周期、sigmoid。何时选哪个、超参直觉，以及核怎么组合。

Dec 4, 2021 核方法 30 分钟

核方法（三）：RKHS——核方法的理论灵魂

再生核 Hilbert 空间——核方法栖息的函数空间。再生性、表示定理，以及为什么有限数据可以在无穷维空间里做优化。

Nov 29, 2021 核方法 52 分钟

核方法（二）：数学基础——正定核与 Mercer 定理

什么样的函数才是合法核？正定性、Gram 矩阵判别、以及 Mercer 定理——那个让核技巧合法化的谱分解。

Nov 24, 2021 核方法 48 分钟

核方法（一）：为什么需要它——从线性算法的天花板说起

线性算法没办法捕获非线性规律。核技巧让你既保留线性算法的优雅，又能建模非线性关系，而且完全不需要写出那个高维特征映射。这是核方法 8 篇系列的开篇。

Nov 21, 2021 微分几何 34 分钟

微分几何（十一）：黎曼几何中的曲率 —— 黎曼、里奇和标量

黎曼曲率张量捕捉了所有内蕴曲率信息 —— 其收缩（里奇和标量曲率）控制体积增长、测地线偏离和爱因斯坦方程。

Nov 17, 2021 微分几何 34 分钟

微分几何（九）：流形上的积分与斯托克斯定理

斯托克斯定理——流形上的微积分基本定理——将格林定理、高斯定理和经典的斯托克斯定理统一为一个优雅的陈述。

Nov 15, 2021 微分几何 26 分钟

微分几何（八）：微分形式 —— 流形上积分的自然语言

微分形式将梯度、旋度和散度统一到一个框架中——外导数 $d$ 和楔积使微积分变得与坐标无关。

Nov 13, 2021 微分几何 52 分钟

微分几何（七）：向量场、流和李括号

向量场生成流——一族单参数的微分同胚。李括号衡量了流不交换的程度，从而引出了Frobenius可积性定理。

Nov 11, 2021 微分几何 40 分钟

微分几何（六）：光滑流形 —— 超越嵌入曲面的几何

流形使几何从环境空间中解放出来——图表、图册和光滑结构让我们能够在不生活在 $\mathbb{R}^n$ 中的空间上进行微积分。

Nov 7, 2021 微分几何 36 分钟

微分几何（四）：内蕴几何 —— 惊人定理与测地线

Gauss 的惊人定理揭示了高斯曲率仅依赖于第一基本形式 —— 测地线是曲面上的“直线”，局部最小化弧长。

Nov 5, 2021 微分几何 38 分钟

微分几何（三）：形状算子——曲面的曲率

Gauss 映射和形状算子捕捉曲面在空间中的弯曲方式——主曲率、高斯曲率和平均曲率将每个点分类为椭圆型、双曲型或抛物型。

Nov 3, 2021 微分几何 32 分钟

微分几何（二）：曲面与第一基本形式 —— 内在测量

正则曲面、坐标补丁、切平面和第一基本形式——如何在不离开曲面的情况下测量长度、角度和面积。

Nov 1, 2021 微分几何 36 分钟

微分几何（一）：空间中的曲线 —— 曲率、挠率和 Frenet 标架

参数化曲线、弧长、曲率、挠率和 Frenet-Serret 装置——完整的空间曲线局部理论。

Oct 17, 2021 泛函分析 48 分钟

泛函分析（九）：无界算子 —— 当有界性失效时

闭算子、对称与自伴的区别、亏指数、Friedrichs 扩张、无界自伴算子的谱定理以及 Stone 定理。

Oct 3, 2021 泛函分析 44 分钟

泛函分析（二）：赋范空间与Banach空间

范数公理、经典例子、有限维空间中范数的等价性、完备性及其重要性、Schauder基、商空间以及可分性的作用。

Sep 7, 2021 抽象代数 50 分钟

抽象代数（四）：Sylow 定理 —— 剖析有限群

Sylow 定理为我们提供了一种系统的方法来寻找和计数素数幂阶的子群——这是分类有限群最有力的工具。

Sep 5, 2021 抽象代数 48 分钟

抽象代数（三）：商群与同态 —— 结构压缩的艺术

正规子群、商构造和同构定理——如何系统地简化群同时保留其本质。

Sep 3, 2021 抽象代数 46 分钟

抽象代数（二）：群的作用 —— 群如何移动事物

我们形式化了群如何作用于集合，证明了轨道-稳定子定理，推导了 Burnside 引理，并计算了项链的数量。

Sep 1, 2021 抽象代数 54 分钟

抽象代数（一）：群 —— 你与代数结构的初次相遇

从整数到对称性，我们构建了群的正式定义，证明了拉格朗日定理，并计算了第一个子群格。