泛函分析（九）：无界算子 —— 当有界性失效时

Sun, 17 Oct 2021 09:00:00 +0000

当算子拒绝在整个空间上定义#

我第一次写下“位置算子 $$X$$ 在 $L^2(\mathbb{R})$ 上”这句话时没多想——直到我试图把它平方。 $$(Xf)(x) = xf(x)$$ 看起来人畜无害，但 $$f(x) = 1/(1+|x|)$$ 满足 $f \in L^2(\mathbb{R})$ ，而 $$Xf(x) = x/(1+|x|)$$ 在无穷远处不衰减为零，根本不在 $$L^2$$ 中。也就是说， $$X$$ 把 $$L^2$$ 中的某些元素送出 $$L^2$$ 之外。它甚至不是“有界但范数大”——它是“在某些点根本没定义”。整个之前关于有界算子的理论在这里失效。

无界算子 on Chen Kai Blog

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