群论 on Chen Kai Blog

抽象代数（四）：Sylow 定理 —— 剖析有限群

Tue, 07 Sep 2021 09:00:00 +0000

我记得第一次翻开抽象代数教材时，盯着 Lagrange 定理发愣了好半天。书上写着“子群的阶必须整除群的阶”，我心想这多直观啊，就像切蛋糕，12 寸的蛋糕当然只能切成 1、2、3、4、6 或 12 块。可当我试着反过来问：“既然 6 整除 12，那 12 阶的群一定有个 6 阶子群吧？”教材冷冷地甩出一个反例：交错群 $$A_4$$ 的阶是 12，但它根本没有 6 阶子群。那一刻我突然意识到，Lagrange 定理只是一道单向的门禁，它告诉你哪些尺寸“不可能”，却对哪些尺寸“一定存在”闭口不谈。

抽象代数（三）：商群与同态 —— 结构压缩的艺术

Sun, 05 Sep 2021 09:00:00 +0000

我盯着那张画满箭头的凯莱图（Cayley graph），脑子里只有一个念头：这也太乱了。一个只有几十个元素的群，乘法表就已经像一团解不开的毛线；要是元素多达几百万，对称性描述得写满十几页纸，我该怎么抓住它的核心？后来我才明白，数学家面对庞然大物时，从不硬刚。他们有一套极其优雅的“压缩术”：把群内部结构相似的整块元素捏成一个点，生成一个更小的群。这个新群虽然丢了细节，却死死咬住了原群的骨架。这篇笔记就是我摸索这套压缩术的记录，核心工具是正规子群（normal subgroup）、商群（quotient group）、群同态（group homomorphism），以及把它们缝在一起的三大同构定理（isomorphism theorems）。

抽象代数（二）：群的作用 —— 群如何移动事物

Fri, 03 Sep 2021 09:00:00 +0000

从抽象群到具体作用#

我第一次碰到“群作用”这个词的时候，脑子里全是乱码。书上冷冰冰地写着 $G \times X \to X$ ，满足两条公理，然后直接跳到轨道和稳定子。我盯着那几行字看了半小时，心里只有一个问题：这到底在干什么？群不是已经定义好了吗，为什么还要让它去“作用”在别的集合上？

抽象代数（一）：群 —— 你与代数结构的初次相遇

Wed, 01 Sep 2021 09:00:00 +0000

为什么代数结构很重要#

我第一次接触抽象代数时，盯着一本教材的目录发呆了整整一个下午。目录上写着“群、环、域”，旁边配着一堆我完全看不懂的符号。我当时心里只有一个念头：这些字母和箭头到底在算什么？实数我会算，矩阵我会乘，函数我会求导，可“群”到底是个什么东西？它连个具体的数字都没有，凭什么能成为一门课的核心？