Differential-Geometry on Chen Kai Blog

微分几何（十二）：纤维丛、特征类与物理学

Tue, 23 Nov 2021 09:00:00 +0000

高中物理课讲电磁学时，老师写过一个让人记忆深刻的公式： $\vec{E} = -\nabla\phi - \partial_t\vec{A}$ ， $\vec{B} = \nabla\times\vec{A}$ 。电磁场由一个标量势 $\phi$ 和一个向量势 $\vec{A}$ 决定。但同一个老师当时说了一句奇怪的话：" $\phi$ 和 $\vec{A}$ 不是唯一的——你可以做规范变换 $\phi \to \phi - \partial_t\lambda$ , $\vec{A} \to \vec{A} + \nabla\lambda$ ，电磁场不变。这种自由叫’规范不变性’。"

微分几何（十）：黎曼几何 — 度量、联络和平行移动

Fri, 19 Nov 2021 09:00:00 +0000

前面四章把流形当一个纯粹的"光滑壳子"在用。可以谈连续、谈光滑、谈切空间、谈微分形式、谈积分——但有一件最朴素的事，到现在为止还做不了：

微分几何（五）：高斯-博内定理 —— 几何与拓扑的交汇点

Tue, 09 Nov 2021 09:00:00 +0000

小学数学课上每个人都学过：三角形内角和等于 180 度。这是欧几里得几何里的金科玉律。但如果你在地球仪上画一个三角形，比如顶点放在北极、赤道经度 0°、赤道经度 90°，三条边都沿着大圆——这是球面上的"直线"，叫测地线。三个角分别是多少？北极那个是 90°（两条经线在那里垂直相交），赤道两个角也都是 90°（经线和赤道垂直）。三个角加起来是 270°，比 180° 多了 90°。