https://www.chenk.top/zh/tags/hilbert-spaces/Recent content in Hilbert-Spaces on Chen Kai BlogHugozh-CNTue, 05 Oct 2021 09:00:00 +0000https://www.chenk.top/zh/functional-analysis/03-hilbert%E7%A9%BA%E9%97%B4/Tue, 05 Oct 2021 09:00:00 +0000https://www.chenk.top/zh/functional-analysis/03-hilbert%E7%A9%BA%E9%97%B4/<h2 id="hilbert-空间无限维空间中的几何" class="heading-anchor">Hilbert 空间——无限维空间中的几何<a href="#hilbert-%e7%a9%ba%e9%97%b4%e6%97%a0%e9%99%90%e7%bb%b4%e7%a9%ba%e9%97%b4%e4%b8%ad%e7%9a%84%e5%87%a0%e4%bd%95" class="heading-link" aria-label="Permalink to this section" title="Copy link to this section">#</a> </h2><p><figure class="article-figure"> <img src="https://blog-pic-ck.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/posts/zh/functional-analysis/figures/fa03_projection.png" alt="Hilbert 空间中的正交投影" loading="lazy" decoding="async" class="content-image"> </figure> </p> <h2 id="当角度消失之后" class="heading-anchor">当“角度”消失之后<a href="#%e5%bd%93%e8%a7%92%e5%ba%a6%e6%b6%88%e5%a4%b1%e4%b9%8b%e5%90%8e" class="heading-link" aria-label="Permalink to this section" title="Copy link to this section">#</a> </h2><p>上一篇 Banach 空间给了我一种长度感——每个向量有范数，每个序列可以谈收敛，每个连续函数族可以做绝对收敛级数。但有一件最直观的事 Banach 空间还做不到：判断两个向量是否“互相垂直”。在 <span class="math-inline">$\mathbb{R}^3$</span> 里我闭着眼都知道 <span class="math-inline">$(1,0,0)$</span> 和 <span class="math-inline">$(0,1,0)$</span> 正交、<span class="math-inline">$(1,1,0)$</span> 和 <span class="math-inline">$(1,1,0)$</span> 平行——这种判断默认依赖内积 <span class="math-inline">$\langle x, y \rangle = \sum x_i y_i$</span> 。一旦只剩范数，不再有内积，正交、夹角、投影这一整套语言都失效了。</p>