https://www.chenk.top/zh/tags/ideals/Recent content in Ideals on Chen Kai BlogHugozh-CNThu, 09 Sep 2021 09:00:00 +0000https://www.chenk.top/zh/abstract-algebra/05-%E7%8E%AF%E4%B8%8E%E7%90%86%E6%83%B3/Thu, 09 Sep 2021 09:00:00 +0000https://www.chenk.top/zh/abstract-algebra/05-%E7%8E%AF%E4%B8%8E%E7%90%86%E6%83%B3/<p>我第一次真正卡壳，是在盯着整数集合 <span class="math-inline">$\mathbb{Z}$</span> 发呆的时候。那时候我刚学完群论，满脑子都是对称、旋转和置换。我试着把 <span class="math-inline">$\mathbb{Z}$</span> 当成一个加法群（additive group）来看：<span class="math-inline">$(\mathbb{Z}, &#43;)$</span> 确实漂亮，它是一个无限循环群，生成元是 <span class="math-inline">$1$</span> 或 <span class="math-inline">$-1$</span> ，结构干净得像一块玻璃。可是，当我想聊点“数论”的东西，比如素数、最大公约数、或者为什么 <span class="math-inline">$6$</span> 只能拆成 <span class="math-inline">$2 \times 3$</span> 时，加法群突然就哑火了。加法只能告诉我 <span class="math-inline">$2&#43;2&#43;2=6$</span> ，它根本看不见“乘法”这回事。我忽然意识到，单靠一个运算，就像只用一把螺丝刀去修整台发动机：你能拧开外壳，但碰不到核心的齿轮咬合。</p>