泛函分析（八）：谱理论 —— 分解算子

Fri, 15 Oct 2021 09:00:00 +0000

当“特征值”不再是答案#

当我第一次看到“谱”这个词用于算子时，我以为它只是“特征值集合”的一个花哨同义词。对于矩阵和紧算子来说，这是正确的直觉，也是初等线性代数中想要的。问题在于，一旦算子不是紧的，这个直觉就错了。 $$L^2[0, 1]$$ 上的位置算子 $$(Mf)(x) = x f(x)$$ 没有特征值：任何特征函数都必须满足 $x f(x) = \lambda f(x)$ 几乎处处成立，这迫使 $$f$$ 在除了单点外的所有地方为零，因此 $$f$$ 在 $$L^2$$ 中为零。然而，该算子显然不可逆，因为 $\lambda I - M$ 是乘以 $x - \lambda$ 的运算，当 $\lambda \in [0, 1]$ 时，它不能有界可逆。

泛函分析（六）：有界线性算子与三大定理

Mon, 11 Oct 2021 09:00:00 +0000

一个共同的引擎，三个不同的出口#

我第一次同时读 Banach-Steinhaus、开映射定理、闭图像定理时被同一种感觉击中：三条定理证明几乎相同。它们都把空间写成可数个闭集的并集、都引用 Baire 范畴定理、都从“某个闭集有非空内部”这一步把局部估计抬到全局估计。区别只在最后一步如何兑现——一致有界、开映射、闭图像——其余的脚手架是同一套。

Operators on Chen Kai Blog

泛函分析（八）：谱理论 —— 分解算子

当“特征值”不再是答案#

泛函分析（六）：有界线性算子与三大定理

一个共同的引擎，三个不同的出口#