PDE
PDE与机器学习（八）：反应扩散系统与GNN
深层 GNN 之所以崩溃，是因为它就是图上的扩散方程；图灵 1952 年的反应扩散理论告诉我们如何修好它——也为整个八章 PDE+ML 系列收尾。
PDE与机器学习（七）：扩散模型与Score Matching
从 PDE 视角统一理解扩散模型：热方程、Fokker-Planck、score matching、DDPM/DDIM、Latent Diffusion，配可视化。
辛几何与结构保持神经网络：让模型学会守恒
理解能保持能量与辛结构的物理感知神经网络。涵盖 HNN、LNN、SympNet、辛积分器，以及四个经典物理系统实验。
PDE与机器学习（六）：连续归一化流与Neural ODE
如何把高斯变成数据分布？本文从 ODE/PDE 理论出发，系统推导 Neural ODE、伴随方法、连续归一化流（FFJORD）与 Flow Matching，并用 7 张图把核心机制画清楚。
PDE与机器学习（五）：辛几何与保结构网络
保结构神经网络的几何起点：相空间、辛形式、Liouville 定理、辛积分器，以及 HNN / LNN / SympNet 三种把守恒律烧进网络结构里的方法。
PDE与机器学习（四）：变分推断与Fokker-Planck方程
变分推断与 Langevin MCMC 在连续时间下是同一个 Fokker-Planck PDE：从 SDE 推导密度演化、KL 散度作为 Wasserstein 梯度流、SVGD 粒子方法、对数 Sobolev 不等式给出指数收敛、贝叶斯神经网络应用。
PDE与机器学习（三）：变分原理与优化
变分原理与PDE求解：Euler-Lagrange方程、Wasserstein梯度流、Mean-Field理论，以及完整数值实验。
PDE与机器学习（二）：神经算子理论
神经算子全景：从函数空间基础到 Chen-Chen 通用逼近定理，再到 DeepONet 与 FNO 的架构、分辨率不变性、误差界与可运行实现。
PDE与机器学习（一）：物理信息神经网络
从有限差分到 PINN：自动微分、PDE 残差损失、Neural Tangent Kernel 视角的训练病理、Burgers 反问题、与 FEM/神经算子的对比，配 7 张实验图。
常微分方程（十三）：偏微分方程引论
当未知函数依赖多于一个自变量时，ODE 世界分裂为更广阔的偏微分方程世界。本章系统地讲三大经典方程：热方程、波动方程、Laplace 方程。