抽象代数（六）：多项式环 —— 因子分解与唯一分解

Sat, 11 Sep 2021 09:00:00 +0000

我记得刚上大学那会儿，盯着黑板上的 $$x^2 + 1$$ 发呆。高中老师信誓旦旦地说这玩意儿“不能再分了”，可眼前的教授随手写下 $$(x+i)(x-i)$$ ，转头又补了一句：“如果在模 $$5$$ 的整数里，它等于 $$(x+2)(x+3)$$ 。”我当时的脑子直接打结：同一个多项式，怎么换个地盘就换了一副面孔？它到底是个固定的对象，还是随环境变形的变色龙？

抽象代数（五）：环与理想 —— 当乘法进入画面

Thu, 09 Sep 2021 09:00:00 +0000

我第一次真正卡壳，是在盯着整数集合 $\mathbb{Z}$ 发呆的时候。那时候我刚学完群论，满脑子都是对称、旋转和置换。我试着把 $\mathbb{Z}$ 当成一个加法群（additive group）来看： $(\mathbb{Z}, +)$ 确实漂亮，它是一个无限循环群，生成元是 $$1$$ 或 $$-1$$ ，结构干净得像一块玻璃。可是，当我想聊点“数论”的东西，比如素数、最大公约数、或者为什么 $$6$$ 只能拆成 $2 \times 3$ 时，加法群突然就哑火了。加法只能告诉我 $$2+2+2=6$$ ，它根本看不见“乘法”这回事。我忽然意识到，单靠一个运算，就像只用一把螺丝刀去修整台发动机：你能拧开外壳，但碰不到核心的齿轮咬合。

Ring-Theory on Chen Kai Blog

抽象代数（六）：多项式环 —— 因子分解与唯一分解

抽象代数（五）：环与理想 —— 当乘法进入画面