泛函分析（十）：算子半群 — 无限维空间中的演化方程

Tue, 19 Oct 2021 09:00:00 +0000

把 $$u' = Au$$ 搬到无穷维#

我第一次试图把热方程 $\partial_t u = \Delta u$ 写成“无穷维 ODE”时被一个具体障碍卡住：标量 ODE $$u' = au$$ 的解 $u(t) = e^{at}u_0$ 我从大学一年级就会写，矩阵 ODE $$u' = Au$$ 用矩阵指数 $e^{tA} = \sum_n (tA)^n/n!$ 也不难——那为什么 $u' = \Delta u$ 的解不能直接写成 $e^{t\Delta}u_0$ ？尝试展开 $\sum_n (t\Delta)^n / n!$ ，每一项都是更高阶的微分算子，作用在初始条件上得到无穷阶导数——级数对一般 $$L^2$$ 函数完全发散。矩阵指数那一招在无穷维直接失效。

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泛函分析（十）：算子半群 — 无限维空间中的演化方程

把 $u' = Au$ 搬到无穷维#

把 $$u' = Au$$ 搬到无穷维#