泛函分析（八）：谱理论 —— 分解算子

Fri, 15 Oct 2021 09:00:00 +0000

当“特征值”不再是答案#

当我第一次看到“谱”这个词用于算子时，我以为它只是“特征值集合”的一个花哨同义词。对于矩阵和紧算子来说，这是正确的直觉，也是初等线性代数中想要的。问题在于，一旦算子不是紧的，这个直觉就错了。 $$L^2[0, 1]$$ 上的位置算子 $$(Mf)(x) = x f(x)$$ 没有特征值：任何特征函数都必须满足 $x f(x) = \lambda f(x)$ 几乎处处成立，这迫使 $$f$$ 在除了单点外的所有地方为零，因此 $$f$$ 在 $$L^2$$ 中为零。然而，该算子显然不可逆，因为 $\lambda I - M$ 是乘以 $x - \lambda$ 的运算，当 $\lambda \in [0, 1]$ 时，它不能有界可逆。

泛函分析（七）：紧算子——通往有限维的桥梁

Wed, 13 Oct 2021 09:00:00 +0000

我对紧算子的喜爱源于一次小小的尴尬。作为本科生时，我曾以为无限维线性代数处处都充满异国情调。其实不然。在算子理论中有一个广阔且研究透彻的领域，在那里，关于对称矩阵的一切知识——特征值、正交特征向量、谱分解——几乎原封不动地重现，只是特征值逐渐趋近于零，而不是一个有限列表。这个领域就是紧算子的世界，进入这个世界的唯一条件是：算子必须将单位球挤压成相对紧集。

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